一 为什么要开设解题规律研究课 1
二 开设解题规律研究课的目标 3
三 掌握解题规律是学好数学、提高数学素养的重要一环 5
思考与练习1 8
第一部分 解题有规律可循 9
一 解题规律研究的历史和现状 9
1 历史和现状 10
2 国内外数学竞赛情况综述 12
思考与练习2 14
二 解题是一项系统工程 14
1 题和解题 14
2 解题要简捷合理 19
3 解题过程及解题能力分析 30
4 解题是一项系统工程 36
思考与练习3 39
三 解题的思维流程 39
1 审题 40
2 联想 43
3 构思 48
4 变换 49
5 评价和决策 51
6 执行和反思 52
7 范例 54
思考与练习4 59
四 解题的基本思路和方法——化归 60
思考与练习5 65
五 解题的原则和策略 65
1 相关概念 65
2 解题的原则和策略 68
3 关于解题的条件和条件创造 70
思考与练习6 72
六 解题思维是一种创造性的思维 73
思考与练习7 83
七 美学方法在解题中的运用 83
思考与练习8 95
第二部分 从解题中学习解题 96
一 正整数 96
1 数制 96
2 奇偶分析法 103
思考与练习9 107
二 数的整除性 108
1 数的整除性 108
2 完全平方数 115
思考与练习10 120
三 Dirichlet原则 121
1 基本原理 121
2 应用举例 123
3 竞赛题选解 130
思考与练习11 139
四 整数三角形 140
1 整数三角形 140
2 整数勾股形 143
3 Heron三角形 149
4 Fibonacci三角形 153
思考与练习12 154
五 图形覆盖 154
1 相关概念及基本原则 154
2 凸图形与Helly定理 157
3 解题方法 158
4 竞赛题选解 162
5 关于棋盘覆盖 168
思考与练习13 172
六 面积方法 173
1 背景资料 173
2 面积法体系的建立 174
3 应用举例 179
4 蝴蝶定理及其他 183
思考与练习14 191
七 组合问题 192
1 基础知识 192
2 解题方法举例 194
3 凸n边形问题 202
4 竞赛题选解 204
思考与练习15 214
八 容斥原理 215
1 基本原理 215
2 应用举例 217
思考与练习16 223
九 四面体问题 224
1 知识概述 224
2 问题选解 229
思考与练习17 236
十 不定方程 237
1 基本理论 237
2 解法及应用举例 242
思考与练习18 246
十一 不等式问题 246
1 基本知识 246
2 解题技巧与方法 252
思考与练习19 262
十二 递归方法 263
1 什么是递归方法 263
2 等比差数列及其应用 268
3 二阶线性递归数列 273
4 Fibonacci数列 280
思考与练习20 284
十三 函数问题 284
1 函数的最值 285
2 函数方程 292
思考与练习21 300
第三部分 解题有法但解无定法 303
一 几种常用的数学方法 303
1 特殊探路法 303
思考与练习22 310
2 辅助元素法 310
思考与练习23 319
3 数形转化法 320
思考与练习24 328
4 构造性方法 329
思考与练习25 344
二 一题可以多解 345
1 综述 345
2 范例 355
思考与练习26 368
三 移花接木，为我所用 368
1 中途点法 368
2 模拟法 373
3 探索法 377
思考与练习27 385
四 发展元认知，提高解题能力 386
1 什么是元认知 386
2 发展元认知，提高解题能力 387
思考与练习28 389
五 通过解题学习数学化 390
1 什么是数学化 390
2 数学化观念对解题的指导意义 391
3 努力在解题活动中实现数学化 392
思考与练习29 399
部分“思考与练习”参考答案或提示 400
主要参考文献 437