第1章 函数、极限与连续 1
本章学习目标 1
1.1 函数 1
1.1.1 数的概念 1
1.1.2 复合函数 2
1.1.3 反函数与隐函数 2
1.1.4 初等函数 2
1.1.5 函数的基本性质 3
习题1.1 4
1.2 极限的概念 4
1.2.1 数列的极限 4
1.2.2 函数的极限 6
1.2.3 无穷小量与无穷大量 8
习题1.2 9
1.3 极限的运算 10
1.3.1 极限的运算法则 10
1.3.2 两个重要极限 11
1.3.3 无穷小的比较 13
习题1.3 14
1.4 函数的连续性 14
1.4.1 数的连续性概念 14
1.4.2 数的间断点及其分类 16
1.4.3 初等函数的连续性 17
1.4.4 闭区间上连续函数的性质 18
习题1.4 19
1.5 利用Mathematica作图及进行函数与极限运算 20
1.5.1 一元函数的图形 20
1.5.2 求极限 22
本章小结 23
复习题1 24
自测题1 24
第2章 导数与微分 26
本章学习目标 26
2.1 导数的概念 26
2.1.1 引例 26
2.1.2 导数的概念与几何意义 27
2.1.3 可导与连续的关系 30
习题2.1 31
2.2 求导法则 32
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 32
2.2.2 复合函数的导数 33
2.2.3 反函数的求导法则 34
2.2.4 初等函数的导数 35
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 36
2.2.6 高阶导数 38
习题2.2 39
2.3 微分 39
2.3.1 微分的概念 40
2.3.2 微分的几何意义 41
2.3.3 微分的运算法则 42
2.3.4 微分在近似计算中的应用 43
习题2.3 44
2.4 用Mathematica进行求导与微分运算 44
2.4.1 导数概念演示 44
2.4.2 用Mathematica求函数的导数和微分 46
本章小结 47
复习题2 48
自测题2 48
第3章 导数的应用 50
本章学习目标 50
3.1 微分中值定理 50
3.1.1 罗尔中值定理 50
3.1.2 拉格朗日中值定理 51
习题3.1 52
3.2 洛必达法则 52
习题3.2 54
3.3 函数的单调性、极值和最值 55
3.3.1 函数的单调性 55
3.3.2 函数的极值 56
3.3.3 函数的最大值和最小值 58
习题3.3 59
3.4 曲线的凹凸性与拐点 60
习题3.4 61
3.5 函数图形的描绘 61
习题3.5 63
3.6 曲率 63
3.7 用Mathematica求解导数的应用问题 64
本章小结 65
复习题3 66
自测题3 66
第4章 积分 68
本章学习目标 68
4.1 定积分与不定积分的概念 68
4.1.1 定积分的概念与性质 68
4.1.2 定积分基本公式 73
4.1.3 不定积分的概念与性质 76
4.1.4 基本积分公式 78
习题4.1 80
4.2 基本积分方法 81
4.2.1 换元积分法 81
4.2.2 分部积分法 89
4.2.3 简单有理函数和三角有理式的积分 92
习题4.2 94
4.3 广义积分 97
4.3.1 无穷区间上的广义积分 97
4.3.2 无界函数的广义积分 98
习题4.3 100
4.4 用Mathematica求积分 100
4.4.1 用Mathematica计算不定积分 100
4.4.2 用Mathematica演示变上限函数 101
本章小结 102
复习题4 103
自测题4 104
第5章 定积分在几何上的应用 106
本章学习目标 106
5.1 定积分的微元法 106
5.2 用定积分求平面图形的面积 107
5.3 用定积分求体积 111
5.3.1 平行截面面积已知的立体体积 111
5.3.2 旋转体的体积 112
本章小结 114
复习题5 115
自测题5 115
第6章 常微分方程 117
本章学习目标 117
6.1 常微分方程的基本概念 117
习题6.1 119
6.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 119
6.2.1 可分离变量的微分方程 119
6.2.2 齐次型微分方程 121
6.2.3 一阶线性微分方程 122
6.2.4 可降阶的高阶微分方程 124
习题6.2 126
6.3 二阶常系数线性微分方程 127
6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 127
6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 128
习题6.3 131
6.4 微分方程的应用 131
6.4.1 一阶微分方程的应用 131
6.4.2 二阶微分方程的应用 133
习题6.4 135
本章小结 136
复习题6 136
测试题6 137
第7章 空间解析几何、多元函数微积分简介 138
本章学习目标 138
7.1 空间解析几何简介 138
7.2 多元函数的概念、极限与连续 140
7.2.1 多元函数的概念 140
7.2.2 二元函数的极限与连续 142
习题7.2 144
7.3 偏导数与全微分 145
7.3.1 偏导数 145
7.3.2 高阶偏导数 147
7.3.3 全微分 148
习题7.3 150
7.4 多元复合函数与隐函数的微分法 151
7.4.1 多元复合函数的微分法 151
7.4.2 隐函数微分法 154
习题7.4 155
7.5 二元函数的极值 156
7.5.1 二元函数的极值 156
7.5.2 二元函数的最大值与最小值 157
7.5.3 条件极值 158
习题7.5 160
7.6 二重积分 160
7.6.1 二重积分的概念 160
7.6.2 二重积分的几何意义 163
7.6.3 二重积分的性质 164
7.6.4 二重积分的计算 165
习题7.6 170
7.7 数学实验 172
7.7.1 利用Mathematica做二元函数图形 172
7.7.2 三维参数图形 173
7.7.3 Mathematica求偏导数 177
7.7.4 计算二元积分 178
本章小结 178
复习题7 179
自测题7 180
第8章 行列式与矩阵 182
本章学习目标 182
8.1 行列式 182
8.1.1 行列式的概念 182
8.1.2 行列式的性质与计算 185
8.1.3 克莱姆法则 190
习题8.1 192
8.2 矩阵及其运算 193
8.2.1 矩阵的概念 193
8.2.2 矩阵的运算 194
习题8.2 198
8.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 199
8.3.1 矩阵的初等变换 199
8.3.2 矩阵的秩 201
习题8.3 203
8.4 矩阵的逆 203
8.4.1 可逆阵及其判别 203
8.4.2 用初等行变换法求逆矩阵 205
习题8.4 207
8.5 用Mathematica进行行列式与矩阵的运算 208
本章小结 212
自测题8 213
第9章 线性方程组 218
9.1 线性方程组的消元解法 218
9.1.1 线性方程组的消元法 218
9.1.2 线性方程组解的判定 221
习题9.1 223
9.2 线性方程组解的结构 224
9.2.1 n维向量、向量组的线性相关性与秩 224
9.2.2 齐次线性方程组解的结构 228
9.2.3 非齐次线性方程组解的结构 230
习题9.2 232
9.3 用Mathematica求解线性方程组 233
本章小结 237
自测题9 239
第10章 概率论基础 242
10.1 随机事件与概率 242
10.1.1 随机实验 242
10.1.2 事件间的关系及运算 243
10.1.3 概率 245
10.2 古典概型 246
10.2.1 古典概型 246
10.2.2 概率的性质 246
10.2.3 概率的加法公式 246
习题10.2 247
10.3 条件概率、乘法公式与事件的独立性 248
10.3.1 条件概率 248
10.3.2 乘法公式 248
10.3.3 事件的独立性 249
10.3.4 全概公式与逆概公式 249
习题10.3 250
本章小结 251
自测题10 251
第11章 随机变量的分布与数字特征 253
11.1 随机变量的分布 253
11.1.1 随机变量 253
11.1.2 离散型随机变量及其概率分布 253
11.1.3 连续型随机变量及其概率分布 256
11.1.4 分布函数 258
11.1.5 随机变量函数的分布 261
习题11.1 263
11.2 随机变量的数字特征 263
11.2.1 数学期望 263
11.2.2 随机变量函数的数学期望 266
11.2.3 方差 266
习题11.2 268
11.3 数学实验 268
一、实验目的 268
二、内容与步骤 268
本章小结 270
自测题11 271
第12章 数理逻辑 274
本章学习目标 274
12.1 命题及其符号化 274
12.1.1 命题概念 274
12.1.2 命题联结词 275
12.1.3 命题的符号化 277
习题12.1 278
12.2 命题公式与公式等值 279
12.2.1 命题公式 279
12.2.2 真值表 279
12.2.3 等价公式 280
习题12.2 283
12.3 命题逻辑推理理论 283
12.3.1 蕴涵及基本蕴涵式 283
12.3.2 命题逻辑推理理论 284
12.3.3 推理常用方法 285
习题12.3 287
12.4 谓词逻辑及其应用 288
12.4.1 个体词、谓词和量词 288
12.4.2 谓词逻辑公式与解释 291
12.4.3 谓词逻辑公式的等价与蕴涵 293
12.4.4 谓词演算的推理理论 297
习题12.4 300
本章小结 301
自测题12 301
第13章 图论初步 303
本章学习目标 303
13.1 图的基本概念 303
13.1.1 图的定义 303
13.1.2 顶点的度数 304
13.1.3 多重图、简单图与完全图 305
13.1.4 子图 307
习题13.1 308
13.2 图的矩阵表示 308
13.2.1 图的邻接矩阵表示 308
13.2.2 图的关联矩阵表示 310
13.2.3 图的可达矩阵表示 311
习题13.2 313
13.3 路与回路 314
13.3.1 通路与回路 314
13.3.2 图的连通性 315
13.3.3 欧拉图与哈密顿图 318
13.3.4 赋权图与最短通路 323
习题13.3 326
13.4 树及其应用 327
13.4.1 无向树及其性质 327
13.4.2 生成树与最小生成树 329
13.4.3 有向树 330
习题13.4 335
本章小结 335
自测题13 335
附录A 积分表 337
附录B 泊松分布表 345
附表C 标准正态分布表 347
习题答案 349
参考文献 373