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第1章 函数、极限与连续 1

本章学习目标 1

1.1 函数 1

1.1.1 数的概念 1

1.1.2 复合函数 2

1.1.3 反函数与隐函数 2

1.1.4 初等函数 2

1.1.5 函数的基本性质 3

习题1.1 4

1.2 极限的概念 4

1.2.1 数列的极限 4

1.2.2 函数的极限 6

1.2.3 无穷小量与无穷大量 8

习题1.2 9

1.3 极限的运算 10

1.3.1 极限的运算法则 10

1.3.2 两个重要极限 11

1.3.3 无穷小的比较 13

习题1.3 14

1.4 函数的连续性 14

1.4.1 数的连续性概念 14

1.4.2 数的间断点及其分类 16

1.4.3 初等函数的连续性 17

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 18

习题1.4 19

1.5 利用Mathematica作图及进行函数与极限运算 20

1.5.1 一元函数的图形 20

1.5.2 求极限 22

本章小结 23

复习题1 24

自测题1 24

第2章 导数与微分 26

本章学习目标 26

2.1 导数的概念 26

2.1.1 引例 26

2.1.2 导数的概念与几何意义 27

2.1.3 可导与连续的关系 30

习题2.1 31

2.2 求导法则 32

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 32

2.2.2 复合函数的导数 33

2.2.3 反函数的求导法则 34

2.2.4 初等函数的导数 35

2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 36

2.2.6 高阶导数 38

习题2.2 39

2.3 微分 39

2.3.1 微分的概念 40

2.3.2 微分的几何意义 41

2.3.3 微分的运算法则 42

2.3.4 微分在近似计算中的应用 43

习题2.3 44

2.4 用Mathematica进行求导与微分运算 44

2.4.1 导数概念演示 44

2.4.2 用Mathematica求函数的导数和微分 46

本章小结 47

复习题2 48

自测题2 48

第3章 导数的应用 50

本章学习目标 50

3.1 微分中值定理 50

3.1.1 罗尔中值定理 50

3.1.2 拉格朗日中值定理 51

习题3.1 52

3.2 洛必达法则 52

习题3.2 54

3.3 函数的单调性、极值和最值 55

3.3.1 函数的单调性 55

3.3.2 函数的极值 56

3.3.3 函数的最大值和最小值 58

习题3.3 59

3.4 曲线的凹凸性与拐点 60

习题3.4 61

3.5 函数图形的描绘 61

习题3.5 63

3.6 曲率 63

3.7 用Mathematica求解导数的应用问题 64

本章小结 65

复习题3 66

自测题3 66

第4章 积分 68

本章学习目标 68

4.1 定积分与不定积分的概念 68

4.1.1 定积分的概念与性质 68

4.1.2 定积分基本公式 73

4.1.3 不定积分的概念与性质 76

4.1.4 基本积分公式 78

习题4.1 80

4.2 基本积分方法 81

4.2.1 换元积分法 81

4.2.2 分部积分法 89

4.2.3 简单有理函数和三角有理式的积分 92

习题4.2 94

4.3 广义积分 97

4.3.1 无穷区间上的广义积分 97

4.3.2 无界函数的广义积分 98

习题4.3 100

4.4 用Mathematica求积分 100

4.4.1 用Mathematica计算不定积分 100

4.4.2 用Mathematica演示变上限函数 101

本章小结 102

复习题4 103

自测题4 104

第5章 定积分在几何上的应用 106

本章学习目标 106

5.1 定积分的微元法 106

5.2 用定积分求平面图形的面积 107

5.3 用定积分求体积 111

5.3.1 平行截面面积已知的立体体积 111

5.3.2 旋转体的体积 112

本章小结 114

复习题5 115

自测题5 115

第6章 常微分方程 117

本章学习目标 117

6.1 常微分方程的基本概念 117

习题6.1 119

6.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 119

6.2.1 可分离变量的微分方程 119

6.2.2 齐次型微分方程 121

6.2.3 一阶线性微分方程 122

6.2.4 可降阶的高阶微分方程 124

习题6.2 126

6.3 二阶常系数线性微分方程 127

6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 127

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 128

习题6.3 131

6.4 微分方程的应用 131

6.4.1 一阶微分方程的应用 131

6.4.2 二阶微分方程的应用 133

习题6.4 135

本章小结 136

复习题6 136

测试题6 137

第7章 空间解析几何、多元函数微积分简介 138

本章学习目标 138

7.1 空间解析几何简介 138

7.2 多元函数的概念、极限与连续 140

7.2.1 多元函数的概念 140

7.2.2 二元函数的极限与连续 142

习题7.2 144

7.3 偏导数与全微分 145

7.3.1 偏导数 145

7.3.2 高阶偏导数 147

7.3.3 全微分 148

习题7.3 150

7.4 多元复合函数与隐函数的微分法 151

7.4.1 多元复合函数的微分法 151

7.4.2 隐函数微分法 154

习题7.4 155

7.5 二元函数的极值 156

7.5.1 二元函数的极值 156

7.5.2 二元函数的最大值与最小值 157

7.5.3 条件极值 158

习题7.5 160

7.6 二重积分 160

7.6.1 二重积分的概念 160

7.6.2 二重积分的几何意义 163

7.6.3 二重积分的性质 164

7.6.4 二重积分的计算 165

习题7.6 170

7.7 数学实验 172

7.7.1 利用Mathematica做二元函数图形 172

7.7.2 三维参数图形 173

7.7.3 Mathematica求偏导数 177

7.7.4 计算二元积分 178

本章小结 178

复习题7 179

自测题7 180

第8章 行列式与矩阵 182

本章学习目标 182

8.1 行列式 182

8.1.1 行列式的概念 182

8.1.2 行列式的性质与计算 185

8.1.3 克莱姆法则 190

习题8.1 192

8.2 矩阵及其运算 193

8.2.1 矩阵的概念 193

8.2.2 矩阵的运算 194

习题8.2 198

8.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 199

8.3.1 矩阵的初等变换 199

8.3.2 矩阵的秩 201

习题8.3 203

8.4 矩阵的逆 203

8.4.1 可逆阵及其判别 203

8.4.2 用初等行变换法求逆矩阵 205

习题8.4 207

8.5 用Mathematica进行行列式与矩阵的运算 208

本章小结 212

自测题8 213

第9章 线性方程组 218

9.1 线性方程组的消元解法 218

9.1.1 线性方程组的消元法 218

9.1.2 线性方程组解的判定 221

习题9.1 223

9.2 线性方程组解的结构 224

9.2.1 n维向量、向量组的线性相关性与秩 224

9.2.2 齐次线性方程组解的结构 228

9.2.3 非齐次线性方程组解的结构 230

习题9.2 232

9.3 用Mathematica求解线性方程组 233

本章小结 237

自测题9 239

第10章 概率论基础 242

10.1 随机事件与概率 242

10.1.1 随机实验 242

10.1.2 事件间的关系及运算 243

10.1.3 概率 245

10.2 古典概型 246

10.2.1 古典概型 246

10.2.2 概率的性质 246

10.2.3 概率的加法公式 246

习题10.2 247

10.3 条件概率、乘法公式与事件的独立性 248

10.3.1 条件概率 248

10.3.2 乘法公式 248

10.3.3 事件的独立性 249

10.3.4 全概公式与逆概公式 249

习题10.3 250

本章小结 251

自测题10 251

第11章 随机变量的分布与数字特征 253

11.1 随机变量的分布 253

11.1.1 随机变量 253

11.1.2 离散型随机变量及其概率分布 253

11.1.3 连续型随机变量及其概率分布 256

11.1.4 分布函数 258

11.1.5 随机变量函数的分布 261

习题11.1 263

11.2 随机变量的数字特征 263

11.2.1 数学期望 263

11.2.2 随机变量函数的数学期望 266

11.2.3 方差 266

习题11.2 268

11.3 数学实验 268

一、实验目的 268

二、内容与步骤 268

本章小结 270

自测题11 271

第12章 数理逻辑 274

本章学习目标 274

12.1 命题及其符号化 274

12.1.1 命题概念 274

12.1.2 命题联结词 275

12.1.3 命题的符号化 277

习题12.1 278

12.2 命题公式与公式等值 279

12.2.1 命题公式 279

12.2.2 真值表 279

12.2.3 等价公式 280

习题12.2 283

12.3 命题逻辑推理理论 283

12.3.1 蕴涵及基本蕴涵式 283

12.3.2 命题逻辑推理理论 284

12.3.3 推理常用方法 285

习题12.3 287

12.4 谓词逻辑及其应用 288

12.4.1 个体词、谓词和量词 288

12.4.2 谓词逻辑公式与解释 291

12.4.3 谓词逻辑公式的等价与蕴涵 293

12.4.4 谓词演算的推理理论 297

习题12.4 300

本章小结 301

自测题12 301

第13章 图论初步 303

本章学习目标 303

13.1 图的基本概念 303

13.1.1 图的定义 303

13.1.2 顶点的度数 304

13.1.3 多重图、简单图与完全图 305

13.1.4 子图 307

习题13.1 308

13.2 图的矩阵表示 308

13.2.1 图的邻接矩阵表示 308

13.2.2 图的关联矩阵表示 310

13.2.3 图的可达矩阵表示 311

习题13.2 313

13.3 路与回路 314

13.3.1 通路与回路 314

13.3.2 图的连通性 315

13.3.3 欧拉图与哈密顿图 318

13.3.4 赋权图与最短通路 323

习题13.3 326

13.4 树及其应用 327

13.4.1 无向树及其性质 327

13.4.2 生成树与最小生成树 329

13.4.3 有向树 330

习题13.4 335

本章小结 335

自测题13 335

附录A 积分表 337

附录B 泊松分布表 345

附表C 标准正态分布表 347

习题答案 349

参考文献 373