第1章 函数、极限、连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数的概念 1
1.1.2 函数的表示法 2
1.1.3 函数的几种特性 2
1.1.4 反函数和复合函数 3
1.1.5 初等函数 3
1.1.6 实际问题建立的函数关系 5
习题1-1 5
1.2 极限 6
1.2.1 数列的极限 6
1.2.2 函数的极限 7
1.2.3 极限的性质 9
习题1-2 10
1.3 极限的运算 10
1.3.1 极限的运算法则 10
1.3.2 两个重要极限 12
习题1-3 14
1.4 无穷小与无穷大 15
1.4.1 无穷小 15
1.4.2 无穷小的比较 16
1.4.3 无穷大量 17
习题1-4 17
1.5 函数的连续性 18
1.5.1 函数的连续 18
1.5.2 连续函数的运算 19
1.5.3 初等函数的连续 20
1.5.4 间断点 20
1.5.5 闭区间上连续函数的性质 21
习题1-5 22
1.6 数学建模初步 23
1.6.1 数学模型的概念 23
1.6.2 数学模型的分类 23
1.6.3 数学建模 23
1.6.4 建立一次函数模型 24
复习题一 25
第2章 导数与微分 27
2.1 导数的概念 27
2.1.1 导数定义 27
2.1.2 导数的意义 31
2.1.3 可导与连续的关系 33
习题2-1 33
2.2 函数的求导法则 34
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 34
2.2.2 反函数求导法则 35
2.2.3 复合函数求导法则 36
2.2.4 基本初等函数导数公式 36
习题2-2 37
2.3 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则 38
2.3.1 隐函数求导法则 38
2.3.2 对数求导法则 38
2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数 40
2.3.4 高阶导数 40
习题2-3 41
2.4 函数的微分 42
2.4.1 微分的定义 42
2.4.2 微分的几何意义 44
2.4.3 微分公式与法则 44
2.4.4 微分在近似计算中的应用 45
习题2-4 46
2.5 应用模型 46
2.5.1 速率问题 46
2.5.2 钟表误差问题 47
复习题二 47
第3章 导数的应用 50
3.1 洛必达法则 50
3.1.1 洛必达法则Ⅰ（0/0型未定式） 50
3.1.2 洛必达法则Ⅱ（∞/∞型未定式） 51
习题3-1 51
3.2 函数单调性的判定——函数的极值 52
3.2.1 微分中值定理 52
3.2.2 单调性的判定 54
3.2.3 极值 55
3.2.4 最值问题 56
习题3-2 58
3.3 函数图像的描绘 59
3.3.1 曲线的凹凸性 59
3.3.2 曲线的渐近线 60
3.3.3 函数图形的描绘 60
习题3-3 61
3.4 应用模型 62
3.4.1 畅销问题 62
3.4.2 流量问题 62
复习题三 63
第4章 不定积分 65
4.1 不定积分的概念与性质 65
4.1.1 原函数与不定积分的概念 65
4.1.2 不定积分的性质 66
习题4-1 67
4.2 不定积分的基本公式和法则——直接积分法 67
4.2.1 不定积分的基本公式 67
4.2.2 不定积分的运算法则 69
4.2.3 直接积分法 69
习题4-2 70
4.3 换元积分法 70
4.3.1 第一类换元积分法 70
4.3.2 第二类换元积分法 74
习题4-3 77
4.4 分部积分法 78
习题4-4 81
4.5 简易积分表及使用方法 81
4.5.1 积分表 81
4.5.2 例题 81
习题4-5 83
4.6 应用模型 83
4.6.1 成本问题 83
4.6.2 石油的消耗量问题 84
4.6.3 速度与位移问题 84
复习题四 85
第5章 定积分及其应用 86
5.1 定积分的概念与性质 86
5.1.1 两个引例 86
5.1.2 定积分的定义 88
5.1.3 定积分的几何意义 88
5.1.4 定积分的性质 89
习题5-1 91
5.2 牛顿—莱布尼兹公式 91
5.2.1 积分上限函数及其导数 91
5.2.2 牛顿一莱布尼茨公式 92
习题5-2 93
5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 94
5.3.1 定积分的换元积分法 94
5.3.2 定积分的分部积分法 95
习题5-3 96
5.4 广义积分 97
5.4.1 无穷限的广义积分 97
5.4.2 无界函数的广义积分 99
习题5-4 100
5.5 定积分在几何上的应用 100
5.5.1 定积分的微元法 100
5.5.2 求平面图形面积 101
5.5.3 求空间立体体积 104
习题5-5 105
5.6 定积分在物理上的应用 106
5.6.1 变力沿直线做功 106
5.6.2 液体静压力 107
习题5-6 107
5.7 应用模型 108
复习题五 109
第6章 空间解析几何与向量代数 112
6.1 空间直角坐标系 112
6.1.1 空间直角坐标系 112
6.1.2 空间两点间的距离 113
习题6-1 114
6.2 向量及其线性运算 114
6.2.1 向量的概念 114
6.2.2 向量的加、减法 114
6.2.3 数与向量的乘法 115
6.2.4 向量的坐标 116
6.2.5 向量的模与方向余弦 117
习题6-2 118
6.3 向量的数量积与向量积 118
6.3.1 两向量的数量积 118
6.3.2 向量的向量积 120
习题6-3 123
6.4 平面及其方程 123
6.4.1 平面的点法式方程 123
6.4.2 平面的一般方程 124
6.4.3 两平面的夹角、平行与垂直 126
习题6-4 127
6.5 空间直线及其方程 127
6.5.1 空间直线的方程 128
6.5.2 两直线的夹角、平行与垂直 129
习题6-5 130
6.6 常见的曲面方程及图形 131
6.6.1 曲面方程的概念 131
6.6.2 常见的曲面方程及其图形 131
6.6.3 空间曲线 135
习题6-6 136
6.7 应用模型 137
6.7.1 空间曲线参数方程的建立 137
6.7.2 空间曲线在坐标面上的投影 137
复习题六 138
第7章 多元函数微分学 140
7.1 多元函数 140
7.1.1 多元函数的概念 140
7.1.2 二元函数的极限和连续 141
习题7-1 143
7.2 偏导数 143
7.2.1 偏导数的概念 143
7.2.2 高阶偏导数 145
习题7-2 145
7.3 全微分及其应用 146
7.3.1 全微分的概念 146
7.3.2 全微分在近似计算中的应用 147
习题7-3 147
7.4 多元复合函数的微分 148
7.4.1 复合函数的微分法 148
7.4.2 隐函数的微分法 151
习题7-4 152
7.5 偏导函数的应用 152
7.5.1 偏导数在几何上的应用 152
7.5.2 多元函数的极值 155
7.5.3 条件极值 157
习题7-5 158
7.6 应用模型 158
复习题七 159
第8章 多元函数积分学 161
8.1 二重积分的概念与性质 161
8.1.1 二重积分的定义 162
8.1.2 二重积分的几何意义 163
8.1.3 二重积分的性质 163
习题8-1 164
8.2 二重积分的计算 165
8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 165
8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 168
习题8-2 171
8.3 二重积分的应用 171
8.3.1 二重积分在几何上的应用 171
8.3.2 二重积分在物理上的应用 173
习题8-3 174
8.4 应用模型 174
8.4.1 平面薄片的转动惯量 174
8.4.2 平面薄片对质点的引力 175
复习题八 175
第9章 常微分方程 178
9.1 常微分方程的一般概念 178
9.1.1 微分方程的概念 178
9.1.2 微分方程的解 178
习题9-1 179
9.2 可分离变量的微分方程 180
9.2.1 可分离变量的微分方程 180
9.2.2 齐次微分方程 181
习题9-2 182
9.3 一阶线性微分方程 182
9.3.1 一阶线性齐次微分方程的通解 183
9.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解 183
习题9-3 184
9.4 几种可降阶的二阶微分方程 185
9.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 185
9.4.2 y""=f(x,y')型的微分方程 185
9.4.3 y""=f(y,y')型的微分方程 186
习题9-4 187
9.5 二阶线性微分方程 187
9.5.1 线性微分方程解的结构 188
9.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程 189
9.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程 191
习题9-5 194
9.6 应用模型 194
9.6.1 凹镜问题 194
9.6.2 第二宇宙速度 196
9.6.3 放射性元素的质量衰变规律 197
复习题九 198
第10章 级数 200
10.1 常数项级数的概念与性质 200
10.1.1 常数项级数的概念 200
10.1.2 数项级数的性质 202
习题10-1 203
10.2 常数项级数的审敛法 203
10.2.1 正项级数的审敛法 203
10.2.2 交错级数审敛法 205
10.2.3 绝对收敛与条件收敛 206
习题10-2 207
10.3 幂级数 207
10.3.1 函数项级数的概念 207
10.3.2 幂级数及其收敛性 207
10.3.3 幂级数的运算 210
习题10-3 211
10.4 函数展开成幂级数 211
10.4.1 泰勒级数 211
10.4.2 函数展开成幂级数 212
习题10-4 215
10.5 周期为2π的函数展开成傅里叶级数 215
10.5.1 三角级数 215
10.5.2 周期为2π的函数展开成傅里叶级数 216
习题10-5 220
复习题十 220
第11章 拉普拉斯（Laplace）变换 223
11.1 Laplace变换及其存在性 223
11.1.1 拉氏变换的定义 223
11.1.2 拉氏变换的存在性 224
习题11-1 226
11.2 Laplace变换 227
11.2.1 Laplace变换的基本性质 227
11.2.2 卷积与卷积定理 230
习题11-2 232
11.3 拉氏逆变换 232
11.3.1 性质求逆法 233
11.3.1 卷积求逆法 233
习题11-3 237
11.4 拉氏变换的应用 237
习题11-4 239
复习题十一 239
第12章 线性代数 241
12.1 行列式的定义 241
12.1.1 二阶和三阶行列式 241
12.1.2 n阶行列式 242
习题12-1 244
12.2 行列式的性质与计算 245
习题12-2 248
12.3 克莱姆法则 249
习题12-3 251
12.4 矩阵的概念 251
12.4.1 矩阵的定义 251
12.4.2 几种特殊矩阵 253
习题12-4 254
12.5 矩阵的运算 255
12.5.1 矩阵的加（减）法 255
12.5.2 数与矩阵的乘法 256
12.5.3 矩阵的乘法 257
12.5.4 方阵的幂 258
12.5.5 矩阵的转置 259
12.5.6 方阵的行列式 260
习题12-5 261
12.6 逆矩阵 261
12.6.1 逆矩阵的定义 261
12.6.2 逆矩阵的求法 262
习题12-6 264
12.7 矩阵的初等变换 265
12.7.1 矩阵初等变换的定义 265
12.7.2 初等方阵 267
12.7.3 利用初等变换求逆矩阵 269
习题12-7 270
12.8 矩阵的秩 270
习题12-8 272
12.9 一般线性方程组解的讨论 272
12.9.1 高斯消元法 272
12.9.2 一般线性方程组 275
12.9.3 齐次线性方程组 278
习题12-9 281
复习题十二 280
参考文献 286