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第1章 函数、极限、连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的表示法 2

1.1.3 函数的几种特性 2

1.1.4 反函数和复合函数 3

1.1.5 初等函数 3

1.1.6 实际问题建立的函数关系 5

习题1-1 5

1.2 极限 6

1.2.1 数列的极限 6

1.2.2 函数的极限 7

1.2.3 极限的性质 9

习题1-2 10

1.3 极限的运算 10

1.3.1 极限的运算法则 10

1.3.2 两个重要极限 12

习题1-3 14

1.4 无穷小与无穷大 15

1.4.1 无穷小 15

1.4.2 无穷小的比较 16

1.4.3 无穷大量 17

习题1-4 17

1.5 函数的连续性 18

1.5.1 函数的连续 18

1.5.2 连续函数的运算 19

1.5.3 初等函数的连续 20

1.5.4 间断点 20

1.5.5 闭区间上连续函数的性质 21

习题1-5 22

1.6 数学建模初步 23

1.6.1 数学模型的概念 23

1.6.2 数学模型的分类 23

1.6.3 数学建模 23

1.6.4 建立一次函数模型 24

复习题一 25

第2章 导数与微分 27

2.1 导数的概念 27

2.1.1 导数定义 27

2.1.2 导数的意义 31

2.1.3 可导与连续的关系 33

习题2-1 33

2.2 函数的求导法则 34

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 34

2.2.2 反函数求导法则 35

2.2.3 复合函数求导法则 36

2.2.4 基本初等函数导数公式 36

习题2-2 37

2.3 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则 38

2.3.1 隐函数求导法则 38

2.3.2 对数求导法则 38

2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数 40

2.3.4 高阶导数 40

习题2-3 41

2.4 函数的微分 42

2.4.1 微分的定义 42

2.4.2 微分的几何意义 44

2.4.3 微分公式与法则 44

2.4.4 微分在近似计算中的应用 45

习题2-4 46

2.5 应用模型 46

2.5.1 速率问题 46

2.5.2 钟表误差问题 47

复习题二 47

第3章 导数的应用 50

3.1 洛必达法则 50

3.1.1 洛必达法则Ⅰ（0/0型未定式） 50

3.1.2 洛必达法则Ⅱ（∞/∞型未定式） 51

习题3-1 51

3.2 函数单调性的判定——函数的极值 52

3.2.1 微分中值定理 52

3.2.2 单调性的判定 54

3.2.3 极值 55

3.2.4 最值问题 56

习题3-2 58

3.3 函数图像的描绘 59

3.3.1 曲线的凹凸性 59

3.3.2 曲线的渐近线 60

3.3.3 函数图形的描绘 60

习题3-3 61

3.4 应用模型 62

3.4.1 畅销问题 62

3.4.2 流量问题 62

复习题三 63

第4章 不定积分 65

4.1 不定积分的概念与性质 65

4.1.1 原函数与不定积分的概念 65

4.1.2 不定积分的性质 66

习题4-1 67

4.2 不定积分的基本公式和法则——直接积分法 67

4.2.1 不定积分的基本公式 67

4.2.2 不定积分的运算法则 69

4.2.3 直接积分法 69

习题4-2 70

4.3 换元积分法 70

4.3.1 第一类换元积分法 70

4.3.2 第二类换元积分法 74

习题4-3 77

4.4 分部积分法 78

习题4-4 81

4.5 简易积分表及使用方法 81

4.5.1 积分表 81

4.5.2 例题 81

习题4-5 83

4.6 应用模型 83

4.6.1 成本问题 83

4.6.2 石油的消耗量问题 84

4.6.3 速度与位移问题 84

复习题四 85

第5章 定积分及其应用 86

5.1 定积分的概念与性质 86

5.1.1 两个引例 86

5.1.2 定积分的定义 88

5.1.3 定积分的几何意义 88

5.1.4 定积分的性质 89

习题5-1 91

5.2 牛顿—莱布尼兹公式 91

5.2.1 积分上限函数及其导数 91

5.2.2 牛顿一莱布尼茨公式 92

习题5-2 93

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 94

5.3.1 定积分的换元积分法 94

5.3.2 定积分的分部积分法 95

习题5-3 96

5.4 广义积分 97

5.4.1 无穷限的广义积分 97

5.4.2 无界函数的广义积分 99

习题5-4 100

5.5 定积分在几何上的应用 100

5.5.1 定积分的微元法 100

5.5.2 求平面图形面积 101

5.5.3 求空间立体体积 104

习题5-5 105

5.6 定积分在物理上的应用 106

5.6.1 变力沿直线做功 106

5.6.2 液体静压力 107

习题5-6 107

5.7 应用模型 108

复习题五 109

第6章 空间解析几何与向量代数 112

6.1 空间直角坐标系 112

6.1.1 空间直角坐标系 112

6.1.2 空间两点间的距离 113

习题6-1 114

6.2 向量及其线性运算 114

6.2.1 向量的概念 114

6.2.2 向量的加、减法 114

6.2.3 数与向量的乘法 115

6.2.4 向量的坐标 116

6.2.5 向量的模与方向余弦 117

习题6-2 118

6.3 向量的数量积与向量积 118

6.3.1 两向量的数量积 118

6.3.2 向量的向量积 120

习题6-3 123

6.4 平面及其方程 123

6.4.1 平面的点法式方程 123

6.4.2 平面的一般方程 124

6.4.3 两平面的夹角、平行与垂直 126

习题6-4 127

6.5 空间直线及其方程 127

6.5.1 空间直线的方程 128

6.5.2 两直线的夹角、平行与垂直 129

习题6-5 130

6.6 常见的曲面方程及图形 131

6.6.1 曲面方程的概念 131

6.6.2 常见的曲面方程及其图形 131

6.6.3 空间曲线 135

习题6-6 136

6.7 应用模型 137

6.7.1 空间曲线参数方程的建立 137

6.7.2 空间曲线在坐标面上的投影 137

复习题六 138

第7章 多元函数微分学 140

7.1 多元函数 140

7.1.1 多元函数的概念 140

7.1.2 二元函数的极限和连续 141

习题7-1 143

7.2 偏导数 143

7.2.1 偏导数的概念 143

7.2.2 高阶偏导数 145

习题7-2 145

7.3 全微分及其应用 146

7.3.1 全微分的概念 146

7.3.2 全微分在近似计算中的应用 147

习题7-3 147

7.4 多元复合函数的微分 148

7.4.1 复合函数的微分法 148

7.4.2 隐函数的微分法 151

习题7-4 152

7.5 偏导函数的应用 152

7.5.1 偏导数在几何上的应用 152

7.5.2 多元函数的极值 155

7.5.3 条件极值 157

习题7-5 158

7.6 应用模型 158

复习题七 159

第8章 多元函数积分学 161

8.1 二重积分的概念与性质 161

8.1.1 二重积分的定义 162

8.1.2 二重积分的几何意义 163

8.1.3 二重积分的性质 163

习题8-1 164

8.2 二重积分的计算 165

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 165

8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 168

习题8-2 171

8.3 二重积分的应用 171

8.3.1 二重积分在几何上的应用 171

8.3.2 二重积分在物理上的应用 173

习题8-3 174

8.4 应用模型 174

8.4.1 平面薄片的转动惯量 174

8.4.2 平面薄片对质点的引力 175

复习题八 175

第9章 常微分方程 178

9.1 常微分方程的一般概念 178

9.1.1 微分方程的概念 178

9.1.2 微分方程的解 178

习题9-1 179

9.2 可分离变量的微分方程 180

9.2.1 可分离变量的微分方程 180

9.2.2 齐次微分方程 181

习题9-2 182

9.3 一阶线性微分方程 182

9.3.1 一阶线性齐次微分方程的通解 183

9.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解 183

习题9-3 184

9.4 几种可降阶的二阶微分方程 185

9.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 185

9.4.2 y""=f(x,y')型的微分方程 185

9.4.3 y""=f(y,y')型的微分方程 186

习题9-4 187

9.5 二阶线性微分方程 187

9.5.1 线性微分方程解的结构 188

9.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程 189

9.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程 191

习题9-5 194

9.6 应用模型 194

9.6.1 凹镜问题 194

9.6.2 第二宇宙速度 196

9.6.3 放射性元素的质量衰变规律 197

复习题九 198

第10章 级数 200

10.1 常数项级数的概念与性质 200

10.1.1 常数项级数的概念 200

10.1.2 数项级数的性质 202

习题10-1 203

10.2 常数项级数的审敛法 203

10.2.1 正项级数的审敛法 203

10.2.2 交错级数审敛法 205

10.2.3 绝对收敛与条件收敛 206

习题10-2 207

10.3 幂级数 207

10.3.1 函数项级数的概念 207

10.3.2 幂级数及其收敛性 207

10.3.3 幂级数的运算 210

习题10-3 211

10.4 函数展开成幂级数 211

10.4.1 泰勒级数 211

10.4.2 函数展开成幂级数 212

习题10-4 215

10.5 周期为2π的函数展开成傅里叶级数 215

10.5.1 三角级数 215

10.5.2 周期为2π的函数展开成傅里叶级数 216

习题10-5 220

复习题十 220

第11章 拉普拉斯（Laplace）变换 223

11.1 Laplace变换及其存在性 223

11.1.1 拉氏变换的定义 223

11.1.2 拉氏变换的存在性 224

习题11-1 226

11.2 Laplace变换 227

11.2.1 Laplace变换的基本性质 227

11.2.2 卷积与卷积定理 230

习题11-2 232

11.3 拉氏逆变换 232

11.3.1 性质求逆法 233

11.3.1 卷积求逆法 233

习题11-3 237

11.4 拉氏变换的应用 237

习题11-4 239

复习题十一 239

第12章 线性代数 241

12.1 行列式的定义 241

12.1.1 二阶和三阶行列式 241

12.1.2 n阶行列式 242

习题12-1 244

12.2 行列式的性质与计算 245

习题12-2 248

12.3 克莱姆法则 249

习题12-3 251

12.4 矩阵的概念 251

12.4.1 矩阵的定义 251

12.4.2 几种特殊矩阵 253

习题12-4 254

12.5 矩阵的运算 255

12.5.1 矩阵的加（减）法 255

12.5.2 数与矩阵的乘法 256

12.5.3 矩阵的乘法 257

12.5.4 方阵的幂 258

12.5.5 矩阵的转置 259

12.5.6 方阵的行列式 260

习题12-5 261

12.6 逆矩阵 261

12.6.1 逆矩阵的定义 261

12.6.2 逆矩阵的求法 262

习题12-6 264

12.7 矩阵的初等变换 265

12.7.1 矩阵初等变换的定义 265

12.7.2 初等方阵 267

12.7.3 利用初等变换求逆矩阵 269

习题12-7 270

12.8 矩阵的秩 270

习题12-8 272

12.9 一般线性方程组解的讨论 272

12.9.1 高斯消元法 272

12.9.2 一般线性方程组 275

12.9.3 齐次线性方程组 278

习题12-9 281

复习题十二 280

参考文献 286