第一篇 微积分 2
第一章 函数、极限和连续 2
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 2
一、函数的基本性质 2
二、分段函数 6
三、反函数 6
四、复合函数 7
五、初等函数 10
六、函数的极限及其连续性 10
七、重要公式和定理 15
第二节 重要题型的解题方法和技巧 22
题型一 未定式的定值法 22
题型二 类未定式的计算 26
题型三 数列的极限 27
题型四 极限式中常数的确定（重点） 32
题型五 函数连续或间断点的判定 35
第三节 思维定势及综合题解析 37
一、思维定势 37
二、综合题解析 41
习题一 42
第二章 导数与微分 46
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 46
一、导数与微分的定义 46
二、重要定理 48
三、导数与微分的运算法则 48
四、基本公式 48
五、高阶导数的定义与基本公式 49
第二节 重要题型的解题方法和技巧 49
题型一 求复合函数的导数或微分 49
题型二 求隐函数的导数或微分 53
题型三 求幂指函数的导数或微分 54
题型四 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 54
题型五 求分段函数的导数或微分 55
题型六 求高阶导数 56
第三节 思维定势及综合题解析 59
一、思维定势 59
二、综合题解析 59
习题二 61
第三章 不定积分 65
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 65
一、不定积分的基本概念 65
二、基本性质 65
三、基本公式 66
四、基本积分法 67
第二节 重要题型的解题方法和技巧 84
题型一 有理函数的不定积分 84
题型二 简单无理函数的不定积分 85
题型三 三角有理式的不定积分 86
题型四 含有反三角函数的不定积分 90
题型五 抽象函数的不定积分 90
题型六 分段函数的不定积分 91
第三节 思维定势及综合题解析 92
一、思维定势 92
二、综合题解析 93
习题三 95
第四章 定积分及反常积分 99
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 99
一、基本性质 99
二、定理和公式 102
三、定积分的计算法 105
四、反常积分的基本概念 109
第二节 重要题型的解题方法和技巧 110
题型一 分段函数的定积分 110
题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分 112
题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分 113
题型四 对称区间上的定积分 115
题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分 116
题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分 117
题型七 已知一定积分，求另一定积分 118
题型八 定积分等式的证明 119
题型九 定积分不等式的证明 127
题型十 计算反常积分 132
题型十一 反常积分的判敛 133
第三节 思维定势及综合题解析 134
一、思维定势 134
二、综合题解析 135
习题四 136
第五章 微分中值定理 140
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 140
第二节 重要题型的解题方法和技巧 141
题型一 闭区间上连续函数命题的证明 141
题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理 144
题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题 145
题型四 命题fn（ξ）＝0的证明 146
题型五 欲证结论：至少存在一点ξε（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立 147
题型六 欲证结证：在（a，b），内至少存在ξ，η（ξ≠η）满足某个代数式 150
第三节 思维定势及综合题解析 151
一、思维定势 151
二、综合题解析 153
习题五 155
第六章 常微分方程和差分方程 157
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 157
一、基本概念 157
二、二阶线性微分方程解的结构 157
三、二阶常系数线性微分方程 159
四、n阶常系数线性微分方程 159
五、差分方程 162
第二节 重要题型的解题方法和技巧 162
题型一 一阶微分方程的计算 162
题型二 计算二阶线性微分方程 170
题型三 计算一阶线性差分方程 173
题型四 微分方程的应用 175
第三节 思维定势及综合题解析 176
一、思维定势 176
二、综合题解析 177
习题六 178
第七章 一元微积分的应用 181
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 181
一、函数的单调增减性定理 181
二、函数的极值与最值 182
三、函数凹凸性的判别与函数的拐点 183
四、微元法及其应用 185
第二节 重要题型的解题方法和技巧 186
题型一 求函数的极值 186
题型二 求函数的最值 187
题型三 关于方程根的讨论 188
题型四 函数渐近线的求解 193
题型五 函数作图 193
题型六 求平面图形的面积 194
题型七 求旋转体的体积 196
第三节 思维定势与综合题解析 197
一、思维定势 197
二、综合题解析 199
习题七 201
第八章 无穷级数 204
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 204
一、无穷级数的基本概念和性质 204
二、数项级数判敛法 205
三、函数项级数的概念 210
四、幂级数的概念和性质 210
第二节 重要题型的解题方法和技巧 212
题型一 正项级数的判敛 212
题型二 任意项级数的判敛 214
题型三 级数的证明或判敛 216
题型四 计算函数项级数收敛域 218
题型五 求幂级数的收敛域、收敛半径 219
题型六 函数在某点的幂级数展开 221
题型七 幂级数求和 223
题型八 数项级数求和 227
第三节 思维定势及综合题解析 230
一、思维定势 230
二、综合题解析 231
习题八 233
第九章 多元函数微分学 236
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 236
一、二元函数的定义 236
二、二元函数的极限及连续性 237
三、偏导数、全导数及全微分 238
四、基本定理 239
五、多元函数的极值 241
六、条件极值与无条件极值 242
第二节 重要题型的解题方法和技巧 242
题型一 简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法 242
题型二 复合函数微分法 243
题型三 隐函数微分法 246
题型四 求无条件极值 249
题型五 求条件极值 250
题型六 求最值 251
第三节 思维定势及综合题解析 252
一、思维定势 252
二、综合题解析 252
习题九 253
第十章 二重积分 256
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 256
一、基本概念 256
二、性质 256
三、二重积分的解题技巧 258
第二节 重要题型的解题方法和技巧 260
题型一 更换二重积分的积分次序 260
题型二 选择二重积分的积分次序 262
题型三 二重积分坐标系的选择 264
题型四 分段函数的二重积分的计算 266
题型五 无界区域上简单二重积分的计算 269
题型六 二重积分等式的证明 270
题型七 二重积分不等式的证明 271
第三节 思维定势及综合题解析 273
一、思维定势 273
二、综合题解析 274
习题十 275
第十一章 函数方程与不等式证明 278
第一节 函数方程 278
一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 278
二、利用极限求解函数方程 279
三、利用导数的定义求解方程 280
四、利用变限积分的可导性求解方程 280
五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 281
第二节 不等式的证明 282
一、引入参数法 282
二、利用微分中值定理 283
三、利用函数的单调增减性（重点） 285
四、利用函数的极值与最值 287
五、利用函数图形的凹凸性 288
六、利用泰勒展开式 289
七、杂例 290
习题十一 291
第十二章 微积分在经济中的应用 294
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 294
第二节 重要题型的解题方法和技巧 295
题型一 一元微积分在经济中的应用 295
题型二 二元微分学在经济中的应用 300
习题十二 301
第二篇 线性代数 302
第一章 行列式 302
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 302
一、排列与逆序 302
二、n阶行列式的定义 303
三、行列式的基本性质 305
四、行列式按行（列）展开定理 307
五、重要公式与结论 309
第二节 重要题型的解题方法和技巧 310
题型一 抽象行列式的计算 310
题型二 低阶行列式的计算 310
题型三 n阶行列式的计算 312
第三节 思维定势与综合题解析 317
一、思维定势 317
二、综合题解析 318
习题一 319
第二章 矩阵 322
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 322
一、矩阵的概念 322
二、矩阵的运算 323
三、逆矩阵的概念 325
四、利用伴随矩阵求逆矩阵 326
五、矩阵的初等变换与求逆 327
六、分块矩阵及其求逆 328
七、矩阵的秩及其求法 328
第二节 重要题型的解题方法和技巧 328
题型一 求逆矩阵 328
题型二 求矩阵的高次幂A 331
题型三 有关初等矩阵的命题 333
题型四 解矩阵方程 334
题型五 求矩阵的秩 336
题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 338
题型七 关于方阵A可逆的证明 338
题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明 339
题型九 关于矩阵秩的命题的证明 340
第三节 思维定势与综合题解析 342
一、思维定势 342
二、综合题解析 343
习题二 344
第三章 向量 350
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 350
一、向量的概念与运算 350
二、向量间的线性关系 350
三、向量组的秩和矩阵的秩 351
四、向量的内积与施密特正交化方法 352
五、重要定理与公式 353
六、小结 354
第二节 重要题型的解题方法和技巧 354
题型一 讨论向量组的线性相关性 354
题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 358
题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 364
题型四 有关向量组线性表示命题的证明 366
题型五 求向量组的极大线性无关组 367
题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 368
题型七 与向量内积有关的命题 372
第三节 思维定势与综合题解析 373
一、思维定势 373
二、综合题解析 374
习题三 375
第四章 线性方程组 379
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 379
一、克莱姆法则 379
二、线性方程组的基本概念 379
三、线性方程组解的判定 380
四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 381
五、线性方程组解的性质 381
六、线性方程组解的结构 381
第二节 重要题型的解题方法和技巧 382
题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 382
题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 386
题型三 讨论两个方程组的公共解 392
题型四 有关基础解系的证明 393
第三节 思维定势与综合题解析 395
一、思维定势 395
二、综合题解析 395
习题四 400
第五章 特征值和特征向量 405
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 405
一、矩阵的特征值和特征向量的概念 405
二、相似矩阵及其性质 405
三、矩阵可相似对角化的充要条件 406
四、实对称矩阵及其性质 406
五、重要公式与结论 407
第二节 重要题型的解题方法和技巧 408
题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 408
题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 409
题型三 特征值与特征向量的逆问题 410
题型四 相似的判定及其逆问题 413
题型五 判断A是否可对角化 415
题型六 有关特征值与特征向量的证明题 418
第三节 思维定势与综合题解析 420
一、思维定势 420
二、综合题解析 420
习题五 426
第六章 二次型 429
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 429
一、二次型及其矩阵表示 429
二、化二次型为标准型 429
三、配方法和正交变换法 430
四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 431
第二节 重要题型的解题方法和技巧 434
题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 434
题型二 化二次型为标准形 435
题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 439
题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 441
第三节 思维定势与综合题解析 443
一、思维定势 443
二、综合题解析 444
习题六 445
第三篇 概率论与数理统计 447
第一章 随机事件和概率 447
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 447
一、随机试验和随机事件 447
二、事件的关系及其运算 448
三、事件的概率及其性质 450
四、条件概率与事件的独立性 451
五、重要概型 452
六、重要公式 452
第二节 重要题型的解题方法和技巧 453
题型一 古典概型与几何概型 453
题型二 事件的关系和概率性质的命题 457
题型三 条件概率与积事件概率的计算 458
题型四 全概率公式与Baves公式的命题 459
题型五 有关Bernoulli概型的命题 462
第三节 思维定势与综合题解析 463
一、思维定势 463
二、综合题解析 465
习题一 465
第二章 随机变量及其分布 469
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 469
一、概念与公式一览表 469
二、重要的一维分布 473
三、重要的二维分布 475
第二节 重要题型的解题方法和技巧 475
题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 475
题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 479
题型三 求一维随机变量函数的分布 482
题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 485
题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 487
题型六 求两个随机变量的简单函数的分布 494
第三节 思维定势与综合题解析 499
一、思维定势 499
二、综合题解析 501
习题二 502
第三章 随机变量的数字特征 510
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 510
一、一维随机变量的数字特征（见表3-1） 510
二、二维随机变量的数字特征（见表3-2） 512
三、几种重要的数学期望与方法（见表3-3） 513
四、重要公式与结论 514
第二节 重要题型的解题方法和技巧 514
题型一 求一维随机变量的数字特征 514
题型二 求一维随机变量函数的数学期望 519
题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 521
题型四 有关数字特征的证明题 528
题型五 数字特征在经济中的应用 529
第三节 思维定势与综合题解析 532
一、思维定势 532
二、综合题解析 532
习题三 535
第四章 大数定律和中心极限定理 540
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 540
一、切比雪夫不等式 540
二、中心极限定理 540
三、重要公式与结论 541
四、注意 541
第二节 重要题型的解题方法和技巧 541
题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 541
题型二 有关中心极限定理的命题 543
习题四 546
第五章 数理统计的基本概念 547
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 547
一、几个基本概念 547
二、三个抽样分布x2分布、t分布与F分布 548
三、正态总体下常用统计量的性质 548
四、重要公式与结论 549
五、经验分布函数 549
第二节 重要题型的解题方法和技巧 550
题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 550
题型二 求统计量的分布 551
第三节 思维定势 553
习题五 554
第六章 参数估计 556
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 556
一、矩估计与最大似然估计 556
第二节 重要题型的解题方法和技巧 557
题型一 求矩估计和最大似然估计 557
习题六 562