第一编 初等方法 3
第0章 绪论 3
0从两道美国大学生数学竞赛试题谈起 3
1一位中学教师的探索 9
2什么是包络 26
3怎样求包络 29
4一个常用的极限 32
第1章 直线族的包络 35
1已知方程的直线族的包络 35
2斜截式直线族的包络 42
3双截距式直线族的包络 46
4点斜式直线族的包络 51
5中垂线式直线族的包络 58
6两点式直线族的包络 61
7法线式直线族的包络 73
附录1用动直线的包络定义二次曲线 78
第2章 圆族的包络 86
1已知圆心及半径的圆族的包络 86
2已知直径的圆族的包络 92
3过已知三点的圆族的包络 101
附录2用Clairaut方程定义二次曲线 109
1Clairaut方程的理论 109
2利用Clairaut方程的奇解定义二次曲线 110
第3章 圆锥曲线族的包络 116
1圆锥曲线 116
2椭圆族的包络 116
3双曲线族的包络 118
4抛物线族的包络 121
附录3从克莱罗（ Clairaut）方程看二次曲线 125
第4章 高次曲线族的包络 135
1高次曲线 135
2有尖点的高次曲线族的包络 137
3有结点的高次曲线族的包络 144
4有孤立点的高次曲线族的包络 149
5有自交点的高次曲线族的包络 153
6有拐点的高次曲线族的包络 154
7高次曲线沿本身平行移动的包络 160
8高次曲线沿其他高次曲线平行移动的包络 164
第5章 应用问题 169
1机械方面的应用 169
2军事及农业方面的应用 171
3几何光学方面的应用 175
4绘图方面的应用 179
5解综合题方面的应用 181
6曲线族中相邻两曲线相交于虚点时所形成的虚包络 184
7曲线族中相邻两曲线相交于虚点时所形成的实包络 187
8包络的导数解法 194
附录4 Clairaut微分方程与（曲线）切线方程的关系 207
1 Clairaut方程的理论 207
2应用 208
第二编 用微分几何的方法研究包络 217
第6章 平面曲线的微分几何 217
1切线，法线，弧长，在技术上有重要应用的一些曲线 217
2两条曲线的相交与相切 231
3曲率，曲率圆与渐屈线 238
4极坐标的应用，反演 250
5渐近线 265
6奇点与包络线 271
7特种应用与例子 278
第7章 中学教师用到的微分几何 288
1一个错题引起的讨论 288
2曲线族的包络 294
3平面曲线族的包络 298
4具有一个自由度而运动着的平面及它的特征线 302
5包络的脊线 304
6可展曲面 305
7柱面 307
第8章 包络在力学领域中的应用 308
1莫尔强度理论 308
2平面曲线族的包络 310
3曲面及其切线，曲面的法线 315
4曲面的奇异点 320
5空间曲线的隐表示式 322
第9章 包络面及其应用 323
1 一阶线性偏微分方程，几何解 324
2曲面族的包络面概要 325
3单参数曲面族的包络 327
4带双参数的包络 328
第10章 可展曲面 330
1曲面族的包络 330
2曲面族的特征线 333
3脊线 335
4可展曲面 337
5极曲面 341
6极曲面的特征点 343
7密切球 344
8切平面的包络 347
9由法线组成的可展曲面 348
10空间渐屈线 351
第11章 吴大任，骆家舜论包络在齿轮啮合中的应用 353
1齿轮传动与微分几何 354
2单参数曲面族的包络面 380
第12章 二次作用和直接展成法原理 395
1关于三个相切曲面的一个引理 396
2关于二次接触 401
3第一次包络，曲面偶[Σ（2），Σ（1）] 407
4第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 410
5直接展成法概述 417
6关于直接展成法的一般计算方法 419
第13章 平面二次包络（直接展成法） 423
1坐标系及其底矢变换公式 423
2平面第一次包络，曲面偶[Σ（2），Σ（1）] 426
3平面第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 434
4平面第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 439
5经过修形的二次包络 446
第14章 间接展成法原理，平面二次包络（间接展成法） 456
1中介齿面 457
2间接展成法原理 466
3平面二次包络（间接展成法） 478
第15章 利用包络解非线性偏微分方程 495
第16章 包络在变分学中的应用 502
1逗留函数 502
2 Euler微分方程的积分法 503
3 Weierstrass E函数中的包络，极小的充分条件 507
附录5包络与Clairaut方程，奇解概念 514
附录6圆柱面绕任意轴回转形成的包络面分析 521
1引言 521
2面对的问题 522
3包络面的形成过程及其方程 523
4包络面的影响因素分析 527
5包络面的特征总结 531
6包络面特征在机械学科中的应用 531
附录7关于包络方法及在空间啮合理论中的应用 534
1算符 534
2包络面，接触线 541
3接触线在包络面上的包络线，一类界点 543
4接触线在母面上的包络线，二类界点 546
5二次包络 549
6应用举例 555
附录8有心二次曲线的包络形成法 561
附录9有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法 564
1引言 564
2有心二次曲线的包络形成法 566
3有心二次曲面的包络形成法 573
附录10函数最值中的包络线 580
附录11曲线包络的GeoGebra实现及教学应用 588
1身边的包络现象及其含义 589
2曲线包络的GeoGebra实现 590
3包络在教学中的应用举例 592
附录12多次包络共轭曲面问题 598
附录13直线族的法线表示式 612
附录14基于初中层面的弦张定点成直角的问题探究 627
附录15 波拉索洛夫论曲线族的包络 643
编辑手记 655