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第一编 初等方法 3

第0章 绪论 3

0从两道美国大学生数学竞赛试题谈起 3

1一位中学教师的探索 9

2什么是包络 26

3怎样求包络 29

4一个常用的极限 32

第1章 直线族的包络 35

1已知方程的直线族的包络 35

2斜截式直线族的包络 42

3双截距式直线族的包络 46

4点斜式直线族的包络 51

5中垂线式直线族的包络 58

6两点式直线族的包络 61

7法线式直线族的包络 73

附录1用动直线的包络定义二次曲线 78

第2章 圆族的包络 86

1已知圆心及半径的圆族的包络 86

2已知直径的圆族的包络 92

3过已知三点的圆族的包络 101

附录2用Clairaut方程定义二次曲线 109

1Clairaut方程的理论 109

2利用Clairaut方程的奇解定义二次曲线 110

第3章 圆锥曲线族的包络 116

1圆锥曲线 116

2椭圆族的包络 116

3双曲线族的包络 118

4抛物线族的包络 121

附录3从克莱罗（ Clairaut）方程看二次曲线 125

第4章 高次曲线族的包络 135

1高次曲线 135

2有尖点的高次曲线族的包络 137

3有结点的高次曲线族的包络 144

4有孤立点的高次曲线族的包络 149

5有自交点的高次曲线族的包络 153

6有拐点的高次曲线族的包络 154

7高次曲线沿本身平行移动的包络 160

8高次曲线沿其他高次曲线平行移动的包络 164

第5章 应用问题 169

1机械方面的应用 169

2军事及农业方面的应用 171

3几何光学方面的应用 175

4绘图方面的应用 179

5解综合题方面的应用 181

6曲线族中相邻两曲线相交于虚点时所形成的虚包络 184

7曲线族中相邻两曲线相交于虚点时所形成的实包络 187

8包络的导数解法 194

附录4 Clairaut微分方程与（曲线）切线方程的关系 207

1 Clairaut方程的理论 207

2应用 208

第二编 用微分几何的方法研究包络 217

第6章 平面曲线的微分几何 217

1切线，法线，弧长，在技术上有重要应用的一些曲线 217

2两条曲线的相交与相切 231

3曲率，曲率圆与渐屈线 238

4极坐标的应用，反演 250

5渐近线 265

6奇点与包络线 271

7特种应用与例子 278

第7章 中学教师用到的微分几何 288

1一个错题引起的讨论 288

2曲线族的包络 294

3平面曲线族的包络 298

4具有一个自由度而运动着的平面及它的特征线 302

5包络的脊线 304

6可展曲面 305

7柱面 307

第8章 包络在力学领域中的应用 308

1莫尔强度理论 308

2平面曲线族的包络 310

3曲面及其切线，曲面的法线 315

4曲面的奇异点 320

5空间曲线的隐表示式 322

第9章 包络面及其应用 323

1 一阶线性偏微分方程，几何解 324

2曲面族的包络面概要 325

3单参数曲面族的包络 327

4带双参数的包络 328

第10章 可展曲面 330

1曲面族的包络 330

2曲面族的特征线 333

3脊线 335

4可展曲面 337

5极曲面 341

6极曲面的特征点 343

7密切球 344

8切平面的包络 347

9由法线组成的可展曲面 348

10空间渐屈线 351

第11章 吴大任，骆家舜论包络在齿轮啮合中的应用 353

1齿轮传动与微分几何 354

2单参数曲面族的包络面 380

第12章 二次作用和直接展成法原理 395

1关于三个相切曲面的一个引理 396

2关于二次接触 401

3第一次包络，曲面偶[Σ（2），Σ（1）] 407

4第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 410

5直接展成法概述 417

6关于直接展成法的一般计算方法 419

第13章 平面二次包络（直接展成法） 423

1坐标系及其底矢变换公式 423

2平面第一次包络，曲面偶[Σ（2），Σ（1）] 426

3平面第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 434

4平面第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 439

5经过修形的二次包络 446

第14章 间接展成法原理，平面二次包络（间接展成法） 456

1中介齿面 457

2间接展成法原理 466

3平面二次包络（间接展成法） 478

第15章 利用包络解非线性偏微分方程 495

第16章 包络在变分学中的应用 502

1逗留函数 502

2 Euler微分方程的积分法 503

3 Weierstrass E函数中的包络，极小的充分条件 507

附录5包络与Clairaut方程，奇解概念 514

附录6圆柱面绕任意轴回转形成的包络面分析 521

1引言 521

2面对的问题 522

3包络面的形成过程及其方程 523

4包络面的影响因素分析 527

5包络面的特征总结 531

6包络面特征在机械学科中的应用 531

附录7关于包络方法及在空间啮合理论中的应用 534

1算符 534

2包络面，接触线 541

3接触线在包络面上的包络线，一类界点 543

4接触线在母面上的包络线，二类界点 546

5二次包络 549

6应用举例 555

附录8有心二次曲线的包络形成法 561

附录9有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法 564

1引言 564

2有心二次曲线的包络形成法 566

3有心二次曲面的包络形成法 573

附录10函数最值中的包络线 580

附录11曲线包络的GeoGebra实现及教学应用 588

1身边的包络现象及其含义 589

2曲线包络的GeoGebra实现 590

3包络在教学中的应用举例 592

附录12多次包络共轭曲面问题 598

附录13直线族的法线表示式 612

附录14基于初中层面的弦张定点成直角的问题探究 627

附录15 波拉索洛夫论曲线族的包络 643

编辑手记 655