第一章 有限元法及在偏微分方程中的应用1 泛函与变分 1
1.1 泛函分析概要 1
Ⅰ 函数空间 1
Ⅱ 函数的内积和微分算子 3
1.2 泛函与广义函数 5
Ⅰ 泛函的概念 5
Ⅱ 广义函数 6
1.3 变分法 6
Ⅰ 泛函的变分 6
Ⅱ 泛函的极值 7
Ⅲ 几个著名的变分问题 7
Ⅳ 泛函取极值的必要条件 9
Ⅴ 变分原理 12
Ⅵ 变分问题的直接法 15
2 有限元法 22
2.1 有限元法的基本原理 22
2.2 有限元法的过程分析 23
3 有限元法在偏微分方程中的应用 26
3.1 泊松方程的边值问题 26
3.2 交变场方程的有限元法 38
Ⅰ 引言 38
Ⅱ 波动方程的有限元解法 39
Ⅲ 平面问题的三角形单元 40
Ⅳ 矩形单元 43
Ⅴ 四面体单元 44
4 有限元解的收敛性 45
习题一 46
第二章 积分方程及其矩量法解 49
1 积分方程 49
1.1 基本问题 49
Ⅰ 方程及其分类 49
Ⅱ 基本积分式 52
1.2 积分方程与微分方程间的关系 53
Ⅰ 二阶线性微分方程的初值问题 53
Ⅱ 格林函数与核 55
1.3 本征值理论 61
Ⅰ 带可分核的Fradholm积分方程 61
Ⅱ 本征值理论 64
1.4 Neumann理论 65
Ⅰ 迭代法及解的收敛性 65
Ⅱ 迭核与预解核 68
1.5 积分方程组 70
1.6 非线性积分方程 71
2 数值解法 75
2.1 代数方程组逼近法 75
2.2 矩量法及其应用 76
Ⅰ 基本原理 76
Ⅱ 基函数与权函数的选取 78
Ⅲ 矩量法应用于积分方程 78
2.3 Volterra积分方程的近似解及其收敛性 81
习题二 83
第三章 摄动法 85
1 基本问题 85
1.1 基本原理 85
1.2 量纲分析与尺度理论 88
2 摄动方法介绍 90
2.1 正则摄动法 91
2.2 奇异摄动法引论 95
3 变形参数法与变形坐标法 97
3.1 变形参数法 97
3.2 变形坐标法 100
3.3 变形参数法的推广 103
4 渐近展开匹配法 104
5 合成展开法 111
6 多重尺度法 116
6.1 导数展开法 116
6.2 两变量展开法 119
6.3 非线性多重尺度法 122
7 摄动问题解的存在及其估计 125
习题三 127
习题答案 128