绪论 数学史课程描述 1
第一单元 数学科学的特点和古代数学史 9
第1讲 数学史与数学科学 11
1.1 数学科学的历史性及其特征 11
1.1.1 数学科学的历史性 11
1.1.2 数学科学的特征 13
1.2 数学史的分期和数学观 19
1.2.1 数学史的分期 19
1.2.2 数学观的演化 19
1.2.3 数学科学的主要研究方向 22
1.3 学习数学史的意义 26
1.3.1 数学史的文化意义 26
1.3.2 数学史的教育意义 26
思考题 27
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第2讲 数学的早期发展和古希腊数学 29
2.1 数学的早期发展 29
2.1.1 古埃及数学 29
2.1.2 古巴比伦数学 31
2.1.3 西汉前的中国数学 33
2.2 古希腊数学 35
2.2.1 古典时期的希腊数学（公元前600—前300年） 35
2.2.2 亚历山大学派时期（公元前300—前30年） 38
2.2.3 希腊数学的衰落 41
思考题 43
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第二单元 近代数学史 45
第3讲 中世纪的中国数学 47
3.1 中国古代数学体系的形成 47
3.2 中国古典数学的论证倾向 49
3.2.1 刘徽及其割圆术 49
3.2.2 祖冲之和圆周率 50
3.2.3 唐朝的数学发展 51
3.3 创造算法的英雄时代 51
3.3.1 贾宪三角VS帕斯卡三角 51
3.3.2 会圆术和隙积术 52
3.3.3 天元术——符号代数的雏形 52
3.3.4 大衍求一术VS辗转相除法 53
3.3.5 垛积术——高阶等差级数求和 54
3.3.6 内插法和《授时历》 54
3.3.7 四元术——中国古代数学的顶峰 55
3.4 15～17世纪的中国数学 56
3.4.1 珠算的普及 56
3.4.2 西方数学的传入 56
3.5 古代希腊数学和中国古典数学的比较 57
3.5.1 有关数学记载的比较 57
3.5.2 经典数学之作的比较 58
3.5.3 古代希腊数学与中国古典数学特点的比较 58
思考题 59
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第4讲 中世纪的印度数学和阿拉伯数学 61
4.1 印度数学 61
4.1.1 吠陀时期 61
4.1.2 悉檀多时期 62
4.2 阿拉伯数学 64
4.2.1 阿拉伯代数学 65
4.2.2 阿拉伯三角学 67
思考题 69
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第5讲 中世纪的欧洲数学 70
5.1 斐波那契和斐波那契数列 70
5.2 文艺复兴时期的欧洲数学 72
5.2.1 代数学 72
5.2.2 三角学 76
5.2.3 射影几何 77
5.2.4 对数的发明 78
5.3 解析几何的诞生 79
思考题 81
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第6讲 微积分的酝酿和创立 83
6.1 微积分先驱者 83
6.1.1 近代科学之父——伽利略 83
6.1.2 天空立法者——开普勒 84
6.1.3 解析几何奠基者——笛卡儿 84
6.1.4 不可分量原理的建立者——卡瓦列里 84
6.1.5 不可分量原理的普及者——托里拆利 85
6.1.6 业余数学王子——费马 85
6.1.7 首届卢卡斯教授——巴罗 85
6.1.8 萨魏里几何讲座教授——沃利斯 85
6.2 牛顿的微积分思想 86
6.2.1 流数术 86
6.2.2 曲线求积术 88
6.2.3 自然哲学的数学原理 88
6.3 莱布尼茨的微积分思想 89
6.4 牛顿和莱布尼茨微积分思想的比较 92
6.5 微积分的重大意义 93
思考题 93
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第7讲 18世纪的微积分发展 95
7.1 牛顿微积分理论的传承者 95
7.1.1 有限差分理论的奠基者——泰勒 95
7.1.2 数学奇才——麦克劳林 96
7.1.3 做家庭教师糊口者——棣莫弗 96
7.2 莱布尼茨微积分理论的推广者 97
7.2.1 醉心于对数螺线者——雅各布·伯努利 97
7.2.2 欧拉的老师——约翰·伯努利 98
7.2.3 数学物理方法的奠基者——丹尼尔·伯努利 99
7.2.4 分析的化身——欧拉 100
7.2.5 数学分析的开拓者——达朗贝尔 101
7.2.6 数学世界高耸的金字塔——拉格朗日 101
7.2.7 法兰西牛顿——拉普拉斯 102
7.3 第二次数学危机 103
7.4 数学新分支的形成 104
7.4.1 常微分方程 104
7.4.2 偏微分方程 105
7.4.3 变分法 106
7.4.4 概率论 107
7.4.5 微分几何 108
思考题 110
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第三单元 现代数学史 111
第8讲 19世纪的代数学发展 113
8.1 代数方程根式解和群理论的建立 113
8.1.1 高斯和代数基本定理 113
8.1.2 拉格朗日的置换群 114
8.1.3 阿贝尔和代数方程 114
8.1.4 伽罗瓦和群理论 116
8.2 数系扩张 118
8.2.1 虚数的诞生 118
8.2.2 四元数的发明 119
8.2.3 八元数的提出 120
8.3 矩阵与行列式 120
8.3.1 矩阵 120
8.3.2 行列式 121
8.4 布尔代数 122
8.5 数论 123
8.5.1 高斯的《算术研究》 123
8.5.2 代数数域理论 123
8.5.3 解析数论 124
思考题 125
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阅读材料 126
第9讲 19世纪的几何学变革 127
9.1 非欧几何的诞生 127
9.1.1 非欧几何的先驱者 127
9.1.2 非欧几何的创立者 128
9.1.3 非欧几何的确认 130
9.2 射影几何学的繁荣 131
9.3 几何学的统一 132
9.4 几何学的公理化 134
思考题 135
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阅读材料 136
第10讲 19世纪的分析学演进 137
10.1 分析算术化 137
10.1.1 分析算术化的先驱 137
10.1.2 魏尔斯特拉斯和分析算术化 138
10.1.3 戴德金和实数理论 141
10.1.4 康托尔集合论的诞生 143
10.1.5 实无穷与潜无穷 144
10.2 分析学的拓展 145
10.2.1 复变函数理论 145
10.2.2 偏微分方程 147
10.3 19世纪数学发展概貌 150
思考题 151
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阅读材料 151
第11讲 20世纪数学概观 152
11.1 抽象数学分支的崛起 153
11.1.1 实变函数 153
11.1.2 泛函分析 154
11.1.3 抽象代数学 155
11.1.4 拓扑学 158
11.2 经典数学分支的突破 160
11.2.1 微分流形的几何学 160
11.2.2 古典分析 160
11.2.3 代数几何学 160
11.2.4 代数数论 161
11.2.5 其他进展 161
11.3 国际数学奖励 161
11.3.1 菲尔兹奖 161
11.3.2 沃尔夫奖 162
11.3.3 伯克霍夫应用数学奖 162
11.3.4 内万林纳奖 163
11.3.5 其他数学奖励 164
思考题 165
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阅读材料 165
第12讲 数学科学的发展动态 167
12.1 中国现代数学的发展 168
12.1.1 20世纪中国数学的发展简述 168
12.1.2 以华人命名的部分数学研究成果 169
12.1.3 走在世界前沿的科研成果 169
12.1.4 当代中国著名数学家 170
12.1.5 中国数学奖励 175
12.2 21世纪的数学发展动态 176
12.2.1 近年菲尔兹奖数学家 176
12.2.2 数学英才 177
12.2.3 数学科学发展新趋势 179
思考题 182
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阅读材料 182
第四单元 现代数学讲座 185
第13讲 破产理论 187
13.1 Lunderberg-Cramer的经典破产论 187
13.2 Feller和Gerber对经典破产论方法的改进 189
13.2.1 费勒的更新理论 189
13.2.2 格伯尔的鞅方法 189
13.3 Gerber破产论的后续研究进展 190
13.3.1 索赔过程的推广 190
13.3.2 经典破产论研究内容的扩展 191
13.4 当代破产论的其他研究方向 191
13.4.1 离散的经典风险模型 191
13.4.2 多险种风险模型的讨论 192
13.4.3 重尾概率分布模型的破产研究 192
13.4.4 带利率的风险模型 192
13.4.5 带分红的风险模型 192
13.4.6 破产论与金融数学的交叉研究 193
思考题 193
下讲学习内容提示 194
阅读材料 194
第14讲 分形理论 195
14.1 分形理论的产生 195
14.2 分形的定义 196
14.3 分形理论的发展 197
14.3.1 创立阶段（1827—1925年） 197
14.3.2 形成阶段（1926—1975年） 197
14.3.3 拓展阶段（1976—） 198
14.4 Hausdorff测度及其维数 198
14.5 计盒维数 200
14.6 填充维数及其测度 201
14.7 常见分形集合 201
思考题 203
下讲学习内容提示 203
阅读材料 203
第15讲 庞加莱猜想 204
15.1 庞加莱猜想的诠释 204
15.2 数学文化背景 205
15.3 庞加莱猜想的证明 207
15.3.1 望而却步 207
15.3.2 柳暗花明 207
15.3.3 僵局打破 208
15.3.4 最后决战 208
15.3.5 成功封顶 209
15.4 中国数学家的努力 209
15.5 庞加莱猜想的现实意义 210
15.6 庞加莱猜想的学术影响 210
15.6.1 中国人为此而骄傲 210
15.6.2 中国人可以在数学研究上做得相当好 211
15.6.3 只要肯花时间搞研究，一定能做出成绩 211
思考题 211
下讲学习内容提示 212
阅读材料 212
第16讲 半群代数理论 213
16.1 半群的早期发展简史 213
16.2 半群中的格林关系 214
16.3 半群的同余 216
16.4 半群代数理论名家 217
16.4.1 克利福德 217
16.4.2 岑嘉评 218
16.4.3 郭聿琦 219
16.5 国内从事半群代数理论研究的学者 219
思考题 219
附录1 数学史小论文参考题目 221
附录2 数学史课程试题 223
附录3 数学科学发展大事记 231
主要参考文献 242
后记 247