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绪论 数学史课程描述 1

第一单元 数学科学的特点和古代数学史 9

第1讲 数学史与数学科学 11

1.1 数学科学的历史性及其特征 11

1.1.1 数学科学的历史性 11

1.1.2 数学科学的特征 13

1.2 数学史的分期和数学观 19

1.2.1 数学史的分期 19

1.2.2 数学观的演化 19

1.2.3 数学科学的主要研究方向 22

1.3 学习数学史的意义 26

1.3.1 数学史的文化意义 26

1.3.2 数学史的教育意义 26

思考题 27

下讲学习内容提示 27

阅读材料 28

第2讲 数学的早期发展和古希腊数学 29

2.1 数学的早期发展 29

2.1.1 古埃及数学 29

2.1.2 古巴比伦数学 31

2.1.3 西汉前的中国数学 33

2.2 古希腊数学 35

2.2.1 古典时期的希腊数学（公元前600—前300年） 35

2.2.2 亚历山大学派时期（公元前300—前30年） 38

2.2.3 希腊数学的衰落 41

思考题 43

下讲学习内容提示 44

阅读材料 44

第二单元 近代数学史 45

第3讲 中世纪的中国数学 47

3.1 中国古代数学体系的形成 47

3.2 中国古典数学的论证倾向 49

3.2.1 刘徽及其割圆术 49

3.2.2 祖冲之和圆周率 50

3.2.3 唐朝的数学发展 51

3.3 创造算法的英雄时代 51

3.3.1 贾宪三角VS帕斯卡三角 51

3.3.2 会圆术和隙积术 52

3.3.3 天元术——符号代数的雏形 52

3.3.4 大衍求一术VS辗转相除法 53

3.3.5 垛积术——高阶等差级数求和 54

3.3.6 内插法和《授时历》 54

3.3.7 四元术——中国古代数学的顶峰 55

3.4 15～17世纪的中国数学 56

3.4.1 珠算的普及 56

3.4.2 西方数学的传入 56

3.5 古代希腊数学和中国古典数学的比较 57

3.5.1 有关数学记载的比较 57

3.5.2 经典数学之作的比较 58

3.5.3 古代希腊数学与中国古典数学特点的比较 58

思考题 59

下讲学习内容提示 60

阅读材料 60

第4讲 中世纪的印度数学和阿拉伯数学 61

4.1 印度数学 61

4.1.1 吠陀时期 61

4.1.2 悉檀多时期 62

4.2 阿拉伯数学 64

4.2.1 阿拉伯代数学 65

4.2.2 阿拉伯三角学 67

思考题 69

下讲学习内容提示 69

阅读材料 69

第5讲 中世纪的欧洲数学 70

5.1 斐波那契和斐波那契数列 70

5.2 文艺复兴时期的欧洲数学 72

5.2.1 代数学 72

5.2.2 三角学 76

5.2.3 射影几何 77

5.2.4 对数的发明 78

5.3 解析几何的诞生 79

思考题 81

下讲学习内容提示 81

阅读材料 82

第6讲 微积分的酝酿和创立 83

6.1 微积分先驱者 83

6.1.1 近代科学之父——伽利略 83

6.1.2 天空立法者——开普勒 84

6.1.3 解析几何奠基者——笛卡儿 84

6.1.4 不可分量原理的建立者——卡瓦列里 84

6.1.5 不可分量原理的普及者——托里拆利 85

6.1.6 业余数学王子——费马 85

6.1.7 首届卢卡斯教授——巴罗 85

6.1.8 萨魏里几何讲座教授——沃利斯 85

6.2 牛顿的微积分思想 86

6.2.1 流数术 86

6.2.2 曲线求积术 88

6.2.3 自然哲学的数学原理 88

6.3 莱布尼茨的微积分思想 89

6.4 牛顿和莱布尼茨微积分思想的比较 92

6.5 微积分的重大意义 93

思考题 93

下讲学习内容提示 94

阅读材料 94

第7讲 18世纪的微积分发展 95

7.1 牛顿微积分理论的传承者 95

7.1.1 有限差分理论的奠基者——泰勒 95

7.1.2 数学奇才——麦克劳林 96

7.1.3 做家庭教师糊口者——棣莫弗 96

7.2 莱布尼茨微积分理论的推广者 97

7.2.1 醉心于对数螺线者——雅各布·伯努利 97

7.2.2 欧拉的老师——约翰·伯努利 98

7.2.3 数学物理方法的奠基者——丹尼尔·伯努利 99

7.2.4 分析的化身——欧拉 100

7.2.5 数学分析的开拓者——达朗贝尔 101

7.2.6 数学世界高耸的金字塔——拉格朗日 101

7.2.7 法兰西牛顿——拉普拉斯 102

7.3 第二次数学危机 103

7.4 数学新分支的形成 104

7.4.1 常微分方程 104

7.4.2 偏微分方程 105

7.4.3 变分法 106

7.4.4 概率论 107

7.4.5 微分几何 108

思考题 110

下讲学习内容提示 110

阅读材料 110

第三单元 现代数学史 111

第8讲 19世纪的代数学发展 113

8.1 代数方程根式解和群理论的建立 113

8.1.1 高斯和代数基本定理 113

8.1.2 拉格朗日的置换群 114

8.1.3 阿贝尔和代数方程 114

8.1.4 伽罗瓦和群理论 116

8.2 数系扩张 118

8.2.1 虚数的诞生 118

8.2.2 四元数的发明 119

8.2.3 八元数的提出 120

8.3 矩阵与行列式 120

8.3.1 矩阵 120

8.3.2 行列式 121

8.4 布尔代数 122

8.5 数论 123

8.5.1 高斯的《算术研究》 123

8.5.2 代数数域理论 123

8.5.3 解析数论 124

思考题 125

下讲学习内容提示 126

阅读材料 126

第9讲 19世纪的几何学变革 127

9.1 非欧几何的诞生 127

9.1.1 非欧几何的先驱者 127

9.1.2 非欧几何的创立者 128

9.1.3 非欧几何的确认 130

9.2 射影几何学的繁荣 131

9.3 几何学的统一 132

9.4 几何学的公理化 134

思考题 135

下讲学习内容提示 136

阅读材料 136

第10讲 19世纪的分析学演进 137

10.1 分析算术化 137

10.1.1 分析算术化的先驱 137

10.1.2 魏尔斯特拉斯和分析算术化 138

10.1.3 戴德金和实数理论 141

10.1.4 康托尔集合论的诞生 143

10.1.5 实无穷与潜无穷 144

10.2 分析学的拓展 145

10.2.1 复变函数理论 145

10.2.2 偏微分方程 147

10.3 19世纪数学发展概貌 150

思考题 151

下讲学习内容提示 151

阅读材料 151

第11讲 20世纪数学概观 152

11.1 抽象数学分支的崛起 153

11.1.1 实变函数 153

11.1.2 泛函分析 154

11.1.3 抽象代数学 155

11.1.4 拓扑学 158

11.2 经典数学分支的突破 160

11.2.1 微分流形的几何学 160

11.2.2 古典分析 160

11.2.3 代数几何学 160

11.2.4 代数数论 161

11.2.5 其他进展 161

11.3 国际数学奖励 161

11.3.1 菲尔兹奖 161

11.3.2 沃尔夫奖 162

11.3.3 伯克霍夫应用数学奖 162

11.3.4 内万林纳奖 163

11.3.5 其他数学奖励 164

思考题 165

下讲学习内容提示 165

阅读材料 165

第12讲 数学科学的发展动态 167

12.1 中国现代数学的发展 168

12.1.1 20世纪中国数学的发展简述 168

12.1.2 以华人命名的部分数学研究成果 169

12.1.3 走在世界前沿的科研成果 169

12.1.4 当代中国著名数学家 170

12.1.5 中国数学奖励 175

12.2 21世纪的数学发展动态 176

12.2.1 近年菲尔兹奖数学家 176

12.2.2 数学英才 177

12.2.3 数学科学发展新趋势 179

思考题 182

下讲学习内容提示 182

阅读材料 182

第四单元 现代数学讲座 185

第13讲 破产理论 187

13.1 Lunderberg-Cramer的经典破产论 187

13.2 Feller和Gerber对经典破产论方法的改进 189

13.2.1 费勒的更新理论 189

13.2.2 格伯尔的鞅方法 189

13.3 Gerber破产论的后续研究进展 190

13.3.1 索赔过程的推广 190

13.3.2 经典破产论研究内容的扩展 191

13.4 当代破产论的其他研究方向 191

13.4.1 离散的经典风险模型 191

13.4.2 多险种风险模型的讨论 192

13.4.3 重尾概率分布模型的破产研究 192

13.4.4 带利率的风险模型 192

13.4.5 带分红的风险模型 192

13.4.6 破产论与金融数学的交叉研究 193

思考题 193

下讲学习内容提示 194

阅读材料 194

第14讲 分形理论 195

14.1 分形理论的产生 195

14.2 分形的定义 196

14.3 分形理论的发展 197

14.3.1 创立阶段（1827—1925年） 197

14.3.2 形成阶段（1926—1975年） 197

14.3.3 拓展阶段（1976—） 198

14.4 Hausdorff测度及其维数 198

14.5 计盒维数 200

14.6 填充维数及其测度 201

14.7 常见分形集合 201

思考题 203

下讲学习内容提示 203

阅读材料 203

第15讲 庞加莱猜想 204

15.1 庞加莱猜想的诠释 204

15.2 数学文化背景 205

15.3 庞加莱猜想的证明 207

15.3.1 望而却步 207

15.3.2 柳暗花明 207

15.3.3 僵局打破 208

15.3.4 最后决战 208

15.3.5 成功封顶 209

15.4 中国数学家的努力 209

15.5 庞加莱猜想的现实意义 210

15.6 庞加莱猜想的学术影响 210

15.6.1 中国人为此而骄傲 210

15.6.2 中国人可以在数学研究上做得相当好 211

15.6.3 只要肯花时间搞研究，一定能做出成绩 211

思考题 211

下讲学习内容提示 212

阅读材料 212

第16讲 半群代数理论 213

16.1 半群的早期发展简史 213

16.2 半群中的格林关系 214

16.3 半群的同余 216

16.4 半群代数理论名家 217

16.4.1 克利福德 217

16.4.2 岑嘉评 218

16.4.3 郭聿琦 219

16.5 国内从事半群代数理论研究的学者 219

思考题 219

附录1 数学史小论文参考题目 221

附录2 数学史课程试题 223

附录3 数学科学发展大事记 231

主要参考文献 242

后记 247