第一篇 微积分 1
第一章 函数 极限 连续 1
考点与要求 1
1函数 1
内容精讲 1
一、定义 1
二、重要性质、定理、公式 4
例题分析 5
一、求复合函数的定义域 5
二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 6
三、求分段函数的复合函数的表达式 6
四、求反函数的表达式 7
五、关于函数有界（无界）的讨论 9
2极限 10
内容精讲 10
一、定义 10
二、重要性质、定理、公式 11
三、计算极限的一些有关方法 12
例题分析 14
一、求函数的极限 14
二、已知某极限，求其中的某些参数，或已知两个无穷小为同阶、等价或高阶，求某些参数 21
三、已知某些极限求另一些极限 26
四、无穷小的比较 28
五、求以极限表示的函数的表达式 29
六、极限运算定理的正确运用 30
3函数的连续与间断 33
内容精讲 33
一、定义 33
二、重要性质、定理、公式 34
例题分析 34
一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断，并说明间断点的类型 34
二、讨论分段函数的连续性，或由连续性确定其中某些参数 35
三、讨论由极限定义的函数的连续性 36
四、运算定理的正确使用 37
五、连续函数的零点问题 38
自测题 39
自测题答案与提示 41
第二章 一元函数微分学 47
考点与要求 47
1导数与微分，导数的计算 47
内容精讲 47
一、定义 47
二、重要性质、定理、公式 48
例题分析 51
一、按定义求一点处的导数 51
二、已知某些极限，求函数在指定点处的导数，或讨论函数在指定点处的可导性 52
三、已知f（x）在某点x=a处可导，求与此有关的极限 54
四、已知f（x）在某点x=a处存在二阶导数，求与此有关的极限 55
五、可导条件下求某些参数 55
六、讨论函数的微分与函数的增量间的大小关系或者无穷小的阶的高低 57
七、讨论由极限式定义的函数的可导性 58
八、绝对值函数的导数 58
九、隐函数求导数，由某方程确定的函数求极限 59
十、求导数的计算题 61
2导数的应用 62
内容精讲 62
一、定义 62
二、重要性质、定理、公式与方法 63
例题分析 65
一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 65
二、最大值、最小值问题 69
三、渐近线 70
3中值定理、不等式与零点问题 71
内容精讲 71
一、重要定理 71
二、重要方法 73
例题分析 74
一、不等式的证明 74
二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 78
三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 80
四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点 81
五、“双中值”问题 82
六、零点的个数问题 82
七、证明存在某ξ满足某不等式 83
八、lim？f′（x）与f′（x0）的关系 84
九、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系 86
十、关于奇函数、偶函数、周期函数的导数的性质 86
自测题 87
自测题答案与提示 90
第三章 一元函数积分学 98
考点与要求 98
1不定积分与定积分的概念、性质、理论 98
内容精讲 98
一、定义 98
二、重要性质、定理、公式 99
例题分析 101
一、分段函数的不定积分与定积分 101
二、定积分与原函数的存在性 104
三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 105
2不定积分与定积分的计算 108
内容精讲 108
一、基本积分公式 108
二、基本积分方法 109
例题分析 111
一、简单有理分式的积分 111
二、三角函数的有理分式的积分 113
三、简单无理式的积分 113
四、两种不同类型的函数相乘的积分 115
五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 117
六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 118
七、含参变量带绝对值号的定积分 121
3反常积分及其计算 122
内容精讲 122
一、定义 122
二、重要性质、定理、公式 123
例题分析 124
一、反常积分的计算 124
二、关于奇、偶函数的反常积分 126
三、关于反常积分敛散性的判定 127
4一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用 129
内容精讲 129
一、定义 129
二、重要性质、定理、公式与方法 131
例题分析 132
一、几何应用 132
二、经济上的应用 135
5定积分的证明题 139
内容精讲 139
例题分析 139
一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 139
二、由积分定义的函数求极限 141
三、积分不等式的证明 142
四、零点问题 145
自测题 147
自测题答案与提示 151
第四章 多元函数微积分学 161
考点与要求 161
1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 161
内容精讲 161
一、多元函数 161
二、二元函数的极限与连续 162
三、二元函数的偏导数与全微分 162
例题分析 164
一、讨论二重极限 164
二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 166
三、讨论二元函数的可微性 168
2多元函数的微分法 171
内容精讲 171
例题分析 173
一、求复合函数的偏导数与全微分 173
二、求隐函数的偏导数与全微分 181
3极值与最值 185
内容精讲 185
例题分析 186
一、无条件极值问题 186
二、条件极值（最值）问题 189
三、多元函数的最大（小）值问题 190
4二重积分 195
内容精讲 195
例题分析 198
一、计算二重积分 198
二、累次积分交换次序及计算 208
三、与二重积分有关的综合题 211
四、与二重积分有关的积分不等式问题 214
自测题 216
自测题答案与提示 220
第五章 无穷级数 229
考点与要求 229
1常数项级数 229
内容精讲 229
例题分析 231
一、正项级数敛散性的判定 231
二、交错级数敛散性的判定 237
三、任意项级数敛散性判定 239
四、有关常数项级数的证明题与综合题 244
2幂级数 246
内容精讲 246
例题分析 248
一、求函数项级数的收敛域 248
二、将函数展开为幂级数 251
三、级数求和 254
3傅里叶级数 260
内容精讲 260
例题分析 260
自测题 261
自测题答案与提示 265
第六章 常微分方程及差分方程 270
考点与要求 270
1常微分方程 270
内容精讲 270
一、微分方程的基本概念 270
二、常见的几类一阶方程及解法 271
三、高阶线性方程 271
例题分析 273
一、微分方程求解 273
二、微分方程的综合题 279
三、微分方程的应用 282
2差分及一阶差分方程 285
内容精讲 285
例题分析 286
自测题 287
自测题答案与提示 288
第二篇 线性代数 293
第一章 行列式 293
考点与要求 293
内容精讲 293
例题分析 296
一、数字型行列式的计算 297
二、抽象型行列式的计算 304
三、行列式|A|是否为零的判定 306
四、关于代数余子式求和 307
自测题 309
自测题答案与提示 310
第二章 矩阵 313
考点与要求 313
内容精讲 313
1矩阵的概念及运算 313
一、矩阵的概念 313
二、矩阵的运算 314
三、矩阵的运算规则 315
四、特殊矩阵 316
2可逆矩阵 316
一、可逆矩阵的概念 316
二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 316
三、逆矩阵的运算性质 317
四、求逆矩阵的方法 317
3初等变换、初等矩阵 317
一、定义 317
二、初等矩阵与初等变换的性质 318
4矩阵的秩 318
一、矩阵秩的概念 319
二、矩阵秩的公式 319
5分块矩阵 319
一、分块矩阵的概念 319
二、分块矩阵的运算 320
例题分析 321
一、矩阵的概念及运算 321
二、特殊方阵的幂 325
三、伴随矩阵的相关问题 329
四、可逆矩阵的相关问题 333
五、初等变换、初等矩阵 337
六、矩阵秩的计算 340
七、矩阵方程的求解 343
自测题 346
自测题答案与提示 348
第三章 向量 350
考点与要求 350
内容精讲 350
1向量、向量组的线性相关性 350
2极大线性无关组、秩 352
3内积，正交规范化方法 354
例题分析 355
一、线性相关性的判别 355
二、向量的线性表示 358
三、向量组线性无关的证明 360
四、秩、极大线性无关组 365
五、正交矩阵、施密特正交化方法 371
自测题 373
自测题答案与提示 375
第四章 线性方程组 377
考点与要求 377
内容精讲 377
1克莱姆法则 377
2齐次线性方程组 378
3非齐次线性方程组 379
例题分析 381
一、线性方程组的基本概念题 381
二、线性方程组的求解 386
三、基础解系 392
四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 395
五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 397
六、两个方程组的公共解 399
七、同解方程组 401
八、线性方程组的有关杂题 404
自测题 407
自测题答案与提示 409
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 411
考点与要求 411
内容精讲 411
1特征值、特征向量 411
一、定义 411
二、特征值的性质 411
三、求特征值、特征向量的方法 412
2相似矩阵、矩阵的相似对角化 412
一、定义 412
二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 412
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 413
3实对称矩阵的相似对角化 413
一、定义 413
二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 413
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 414
例题分析 414
一、特征值，特征向量的求法 414
二、两个矩阵有相同的特征值的证明 419
三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 420
四、矩阵是否相似于对角阵 422
五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 424
六、由特征值、特征向量反求A 426
七、矩阵相似及相似标准形 428
八、相似对角阵的应用 435
自测题 440
自测题答案与提示 442
第六章 二次型 445
考点与要求 445
内容精讲 445
1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 445
一、二次型概念 445
二、二次型的矩阵表示 445
2化二次型为标准形、规范形、合同二次型 446
一、定义 446
3正定二次型、正定矩阵 448
一、定义 448
例题分析 448
一、二次型的矩阵表示 448
二、化二次型为标准形、规范形 450
三、合同矩阵、合同二次型 459
四、正定性的判别 463
五、正定二次型的证明 468
六、综合杂题 470
自测题 473
自测题答案与提示 475
第三篇 概率论与数理统计 478
第一章 随机事件与概率 478
考点与要求 478
1事件、样本空间、事件间的关系与运算 478
内容精讲 478
例题分析 481
2概率、条件概率、独立性和五大公式 482
内容精讲 482
例题分析 484
3古典概型与伯努利概型 489
内容精讲 489
例题分析 490
自测题 492
自测题答案与提示 494
第二章 随机变量及其概率分布 500
考点与要求 500
1随机变量及其分布函数 500
内容精讲 500
例题分析 501
2离散型随机变量和连续型随机变量 502
内容精讲 502
例题分析 503
3常用分布 505
内容精讲 505
例题分析 507
4随机变量函数的分布 511
内容精讲 511
例题分析 511
自测题 513
自测题答案与提示 515
第三章 多维随机变量及其分布 521
考点与要求 521
1二维随机变量及其分布 521
内容精讲 521
例题分析 524
2随机变量的独立性 529
内容精讲 529
例题分析 529
3二维均匀分布和二维正态分布 535
内容精讲 535
例题分析 536
4两个随机变量函数Z= g（X，Y）的分布 538
内容精讲 538
例题分析 539
自测题 545
自测题答案与提示 548
第四章 随机变量的数字特征 556
考点与要求 556
1随机变量的数学期望和方差 556
内容精讲 556
例题分析 558
2矩、协方差和相关系数 566
内容精讲 566
例题分析 567
3切比雪夫不等式 575
内容精讲 575
例题分析 575
自测题 576
自测题答案与提示 578
第五章 大数定律和中心极限定理 585
考点与要求 585
内容精讲 585
例题分析 586
自测题 588
自测题答案与提示 589
第六章 数理统计的基本概念 592
考点与要求 592
1总体、样本、统计量和样本数字特征 592
内容精讲 592
例题分析 594
2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 595
内容精讲 595
例题分析 598
自测题 602
自测题答案与提示 603
第七章 参数估计 608
考点与要求 608
1点估计 608
内容精讲 608
例题分析 608
2估计量求法 613
内容精讲 613
例题分析 615
自测题 617
自测题答案与提示 619