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第一篇 微积分 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

例题分析 5

一、求复合函数的定义域 5

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 6

三、求分段函数的复合函数的表达式 6

四、求反函数的表达式 7

五、关于函数有界（无界）的讨论 9

2极限 10

内容精讲 10

一、定义 10

二、重要性质、定理、公式 11

三、计算极限的一些有关方法 12

例题分析 14

一、求函数的极限 14

二、已知某极限，求其中的某些参数，或已知两个无穷小为同阶、等价或高阶，求某些参数 21

三、已知某些极限求另一些极限 26

四、无穷小的比较 28

五、求以极限表示的函数的表达式 29

六、极限运算定理的正确运用 30

3函数的连续与间断 33

内容精讲 33

一、定义 33

二、重要性质、定理、公式 34

例题分析 34

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断，并说明间断点的类型 34

二、讨论分段函数的连续性，或由连续性确定其中某些参数 35

三、讨论由极限定义的函数的连续性 36

四、运算定理的正确使用 37

五、连续函数的零点问题 38

自测题 39

自测题答案与提示 41

第二章 一元函数微分学 47

考点与要求 47

1导数与微分，导数的计算 47

内容精讲 47

一、定义 47

二、重要性质、定理、公式 48

例题分析 51

一、按定义求一点处的导数 51

二、已知某些极限，求函数在指定点处的导数，或讨论函数在指定点处的可导性 52

三、已知f（x）在某点x=a处可导，求与此有关的极限 54

四、已知f（x）在某点x=a处存在二阶导数，求与此有关的极限 55

五、可导条件下求某些参数 55

六、讨论函数的微分与函数的增量间的大小关系或者无穷小的阶的高低 57

七、讨论由极限式定义的函数的可导性 58

八、绝对值函数的导数 58

九、隐函数求导数，由某方程确定的函数求极限 59

十、求导数的计算题 61

2导数的应用 62

内容精讲 62

一、定义 62

二、重要性质、定理、公式与方法 63

例题分析 65

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 65

二、最大值、最小值问题 69

三、渐近线 70

3中值定理、不等式与零点问题 71

内容精讲 71

一、重要定理 71

二、重要方法 73

例题分析 74

一、不等式的证明 74

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 78

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 80

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点 81

五、“双中值”问题 82

六、零点的个数问题 82

七、证明存在某ξ满足某不等式 83

八、lim？f′（x）与f′（x0）的关系 84

九、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系 86

十、关于奇函数、偶函数、周期函数的导数的性质 86

自测题 87

自测题答案与提示 90

第三章 一元函数积分学 98

考点与要求 98

1不定积分与定积分的概念、性质、理论 98

内容精讲 98

一、定义 98

二、重要性质、定理、公式 99

例题分析 101

一、分段函数的不定积分与定积分 101

二、定积分与原函数的存在性 104

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 105

2不定积分与定积分的计算 108

内容精讲 108

一、基本积分公式 108

二、基本积分方法 109

例题分析 111

一、简单有理分式的积分 111

二、三角函数的有理分式的积分 113

三、简单无理式的积分 113

四、两种不同类型的函数相乘的积分 115

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 117

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 118

七、含参变量带绝对值号的定积分 121

3反常积分及其计算 122

内容精讲 122

一、定义 122

二、重要性质、定理、公式 123

例题分析 124

一、反常积分的计算 124

二、关于奇、偶函数的反常积分 126

三、关于反常积分敛散性的判定 127

4一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用 129

内容精讲 129

一、定义 129

二、重要性质、定理、公式与方法 131

例题分析 132

一、几何应用 132

二、经济上的应用 135

5定积分的证明题 139

内容精讲 139

例题分析 139

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 139

二、由积分定义的函数求极限 141

三、积分不等式的证明 142

四、零点问题 145

自测题 147

自测题答案与提示 151

第四章 多元函数微积分学 161

考点与要求 161

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 161

内容精讲 161

一、多元函数 161

二、二元函数的极限与连续 162

三、二元函数的偏导数与全微分 162

例题分析 164

一、讨论二重极限 164

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 166

三、讨论二元函数的可微性 168

2多元函数的微分法 171

内容精讲 171

例题分析 173

一、求复合函数的偏导数与全微分 173

二、求隐函数的偏导数与全微分 181

3极值与最值 185

内容精讲 185

例题分析 186

一、无条件极值问题 186

二、条件极值（最值）问题 189

三、多元函数的最大（小）值问题 190

4二重积分 195

内容精讲 195

例题分析 198

一、计算二重积分 198

二、累次积分交换次序及计算 208

三、与二重积分有关的综合题 211

四、与二重积分有关的积分不等式问题 214

自测题 216

自测题答案与提示 220

第五章 无穷级数 229

考点与要求 229

1常数项级数 229

内容精讲 229

例题分析 231

一、正项级数敛散性的判定 231

二、交错级数敛散性的判定 237

三、任意项级数敛散性判定 239

四、有关常数项级数的证明题与综合题 244

2幂级数 246

内容精讲 246

例题分析 248

一、求函数项级数的收敛域 248

二、将函数展开为幂级数 251

三、级数求和 254

3傅里叶级数 260

内容精讲 260

例题分析 260

自测题 261

自测题答案与提示 265

第六章 常微分方程及差分方程 270

考点与要求 270

1常微分方程 270

内容精讲 270

一、微分方程的基本概念 270

二、常见的几类一阶方程及解法 271

三、高阶线性方程 271

例题分析 273

一、微分方程求解 273

二、微分方程的综合题 279

三、微分方程的应用 282

2差分及一阶差分方程 285

内容精讲 285

例题分析 286

自测题 287

自测题答案与提示 288

第二篇 线性代数 293

第一章 行列式 293

考点与要求 293

内容精讲 293

例题分析 296

一、数字型行列式的计算 297

二、抽象型行列式的计算 304

三、行列式|A|是否为零的判定 306

四、关于代数余子式求和 307

自测题 309

自测题答案与提示 310

第二章 矩阵 313

考点与要求 313

内容精讲 313

1矩阵的概念及运算 313

一、矩阵的概念 313

二、矩阵的运算 314

三、矩阵的运算规则 315

四、特殊矩阵 316

2可逆矩阵 316

一、可逆矩阵的概念 316

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 316

三、逆矩阵的运算性质 317

四、求逆矩阵的方法 317

3初等变换、初等矩阵 317

一、定义 317

二、初等矩阵与初等变换的性质 318

4矩阵的秩 318

一、矩阵秩的概念 319

二、矩阵秩的公式 319

5分块矩阵 319

一、分块矩阵的概念 319

二、分块矩阵的运算 320

例题分析 321

一、矩阵的概念及运算 321

二、特殊方阵的幂 325

三、伴随矩阵的相关问题 329

四、可逆矩阵的相关问题 333

五、初等变换、初等矩阵 337

六、矩阵秩的计算 340

七、矩阵方程的求解 343

自测题 346

自测题答案与提示 348

第三章 向量 350

考点与要求 350

内容精讲 350

1向量、向量组的线性相关性 350

2极大线性无关组、秩 352

3内积，正交规范化方法 354

例题分析 355

一、线性相关性的判别 355

二、向量的线性表示 358

三、向量组线性无关的证明 360

四、秩、极大线性无关组 365

五、正交矩阵、施密特正交化方法 371

自测题 373

自测题答案与提示 375

第四章 线性方程组 377

考点与要求 377

内容精讲 377

1克莱姆法则 377

2齐次线性方程组 378

3非齐次线性方程组 379

例题分析 381

一、线性方程组的基本概念题 381

二、线性方程组的求解 386

三、基础解系 392

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 395

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 397

六、两个方程组的公共解 399

七、同解方程组 401

八、线性方程组的有关杂题 404

自测题 407

自测题答案与提示 409

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 411

考点与要求 411

内容精讲 411

1特征值、特征向量 411

一、定义 411

二、特征值的性质 411

三、求特征值、特征向量的方法 412

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 412

一、定义 412

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 412

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 413

3实对称矩阵的相似对角化 413

一、定义 413

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 413

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 414

例题分析 414

一、特征值，特征向量的求法 414

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 419

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 420

四、矩阵是否相似于对角阵 422

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 424

六、由特征值、特征向量反求A 426

七、矩阵相似及相似标准形 428

八、相似对角阵的应用 435

自测题 440

自测题答案与提示 442

第六章 二次型 445

考点与要求 445

内容精讲 445

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 445

一、二次型概念 445

二、二次型的矩阵表示 445

2化二次型为标准形、规范形、合同二次型 446

一、定义 446

3正定二次型、正定矩阵 448

一、定义 448

例题分析 448

一、二次型的矩阵表示 448

二、化二次型为标准形、规范形 450

三、合同矩阵、合同二次型 459

四、正定性的判别 463

五、正定二次型的证明 468

六、综合杂题 470

自测题 473

自测题答案与提示 475

第三篇 概率论与数理统计 478

第一章 随机事件与概率 478

考点与要求 478

1事件、样本空间、事件间的关系与运算 478

内容精讲 478

例题分析 481

2概率、条件概率、独立性和五大公式 482

内容精讲 482

例题分析 484

3古典概型与伯努利概型 489

内容精讲 489

例题分析 490

自测题 492

自测题答案与提示 494

第二章 随机变量及其概率分布 500

考点与要求 500

1随机变量及其分布函数 500

内容精讲 500

例题分析 501

2离散型随机变量和连续型随机变量 502

内容精讲 502

例题分析 503

3常用分布 505

内容精讲 505

例题分析 507

4随机变量函数的分布 511

内容精讲 511

例题分析 511

自测题 513

自测题答案与提示 515

第三章 多维随机变量及其分布 521

考点与要求 521

1二维随机变量及其分布 521

内容精讲 521

例题分析 524

2随机变量的独立性 529

内容精讲 529

例题分析 529

3二维均匀分布和二维正态分布 535

内容精讲 535

例题分析 536

4两个随机变量函数Z= g（X，Y）的分布 538

内容精讲 538

例题分析 539

自测题 545

自测题答案与提示 548

第四章 随机变量的数字特征 556

考点与要求 556

1随机变量的数学期望和方差 556

内容精讲 556

例题分析 558

2矩、协方差和相关系数 566

内容精讲 566

例题分析 567

3切比雪夫不等式 575

内容精讲 575

例题分析 575

自测题 576

自测题答案与提示 578

第五章 大数定律和中心极限定理 585

考点与要求 585

内容精讲 585

例题分析 586

自测题 588

自测题答案与提示 589

第六章 数理统计的基本概念 592

考点与要求 592

1总体、样本、统计量和样本数字特征 592

内容精讲 592

例题分析 594

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 595

内容精讲 595

例题分析 598

自测题 602

自测题答案与提示 603

第七章 参数估计 608

考点与要求 608

1点估计 608

内容精讲 608

例题分析 608

2估计量求法 613

内容精讲 613

例题分析 615

自测题 617

自测题答案与提示 619