第0章 科学家论数学与不等式 1
第1章 平均与范数 6
1.1常见的平均 6
1.2著名平均与公理体系 9
1.3一些其他的著名平均 12
1.4关于两个量的平均 22
1.5常见的范数 29
习题 30
参考文献 31
第2章 几何平均-算术平均不等式 34
2.1不等式G2≤A2的证明 34
2.2不等式Gn≤An的证明 40
2.3关于GA不等式的用场 52
习题 57
参考文献 58
第3章 利用基本不等式方法 60
3.1基本的不等式及其基本关系 60
3.2利用GA不等式 64
3.3 Holder, Cauchy和Minkowski不等式的相关注释 73
3.4利用Cauchy不等式和Holder不等式 79
3.5利用Minkowski不等式和三角形不等式 87
3.6利用Bernoulli不等式 91
3.7利用чeoьuueβ不等式 94
3.8利用Jensen不等式 99
习题 101
参考文献 103
第4章 数学归纳法与抽屉原理方法 105
4.1数学归纳法 105
4.2利用反向归纳法 105
4.3利用一般数学归纳法 109
4.4一种递推不等式 121
4.5抽屉原理 123
习题 127
参考文献 129
第5章 几何、图论、向量、复数和判别式方法 130
5. 1几何方法 130
5. 2图论方法 141
5. 3向量方法 143
5.4复数方法 148
5. 5判别式方法 157
习题 166
参考文献 169
第6章 凸性函数法 173
6.1关于凸函数的一些知识 173
6.2借助凸（凹）函数建立著名不等式 178
6.3 Hermite-Hadamard不等式之推广 184
6.4 Jensen不等式的另类推广和加细 190
6. 5 γ—凸函数 195
6.6几何凸函数及其相关性质 199
习题 202
参考文献 203
第7章 单调方法 208
7.1单调性的有关定理 208
7.2利用函数的单调性 209
习题 219
参考文献 220
第8章 中值定理法 222
8. 1中值定理的有关知识 222
8.2利用微分中值定理 224
8.3利用积分中值定理 234
习题 235
参考文献 236
第9章 极值方法 238
9.1求极值的有关思路与定理 238
9.2极值方法的证明 240
习题 256
参考文献 257
第10章 确界方法和收缩方法 259
10. 1确界的性质 259
10.2利用确界性质证明不等式 260
10.3收缩方法 271
习题 271
参考文献 272
第11章 λ方法和Mercer方法 273
11. 1 λ方法 273
11.2 Mercer方法 275
习题 278
参考文献 279
第12章 不等式与数学规划 280
12.1函数方程法 280
12.2动态规划的一种归纳程序 284
12.3动态规划的模型 285
12.4逆序解法与顺序解法 291 12.5来自经济学中的数学模型 295
12.6连续的动态规划方法 298
习题 304
参考文献 305
第13章 幂级数方法 307
13.1有关幂级数的知识 307
13.2利用幂级数建立不等式 308
习题 324
参考文献 325
第14章Fourier级数方法 327
14.1展开定理 327
14.2利用Fourier级数建立不等式 328
参考文献 332
第15章 权系数方法 334
15.1权系数方法 335
15.2 Hardy-Hilbert型不等式的一些相关研究 338
15.3发展的权函数方法 342
15.4对加强的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法 349
15.5对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（1 ） 355
15.6对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（2） 359
15.7对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式 使用权函数方法（3） 362
15.8Carleman不等式 367
习题 373
参考文献 373
第16章 恒等式法及其相关方法 378
16.1恒等式法1（离散型） 378
16.2恒等式法2（积分型） 396
16.3放缩法 402
16. 4松弛法 407
16. 5代换方法 407
习题 416
参考文献 419
第17章 受控方法 421
17. 1控制不等式与凸性函数的基本知识 422
17.2用受控方法建立不等式 426
习题 441
参考文献 442
第18章 支撑函数方法 444
18.1支撑函数的有关知识 444
18.2利用支撑函数理论建立不等式 447
18.3利用支撑函数建立行列式不等式 453
习题 456
参考文献 456
第19章 拟线性化方法 458
19.1拟线性化的有关知识 458
19.2利用拟线性方法建立不等式 460
习题 465
参考文献 465
第20章 用导数和积分的定义和性质 466
20.1利用导数和积分的定义 466
20.2利用积分的性质 469
20.3利用多元积分和反常积分性质 480
习题 488
参考文献 489
第21章Benson方法 491
21.1建立不等式的Benson方法的思路 491
21.2涉及（u′）2的不等式 492
21.3涉及（u′）2n的不等式 495
21.4涉及（u＂）2与（u＂）2n的不等式 498
21.5涉及（u（n））2与（u（n））2m的不等式 500
21.6涉及多元函数的不等式和导数的幂函数不等式 502
习题 504
参考文献 505
第22章 逐步调整法 507
22. 1逐步调整法的有关定理 507
22.2利用局部逐步调整法建立不等式 508
习题 512
参考文献 513
第23章 降维法 514
23.1问题的提出 515
23. 2GA不等式及其相关命题 515
23.3一些著名的不等式 518
23.4幂平均不等式和Fan型不等式 521
23. 5再论构造函数因子法 523
23. 6齐次对称函数不等式 525
23. 7 L—单调函数方法 536
习题 545
参考文献 545
第24章 物理方法 549
24. 1关于形心的一些知识 550
24.2一些不等式的形心法与光学法证明 551
24.3热力学方面的一些知识 561
24.4基本不等式的热力学证明 562
习题 564
参考文献 564
第25章 泛函分析方法 567
25.1利用线性赋范空间和内积空间的特性 567
25.2利用算子的正性 576
25.3利用非线性正泛函 584
25.4 Hilbert空间上的Heinz-Kato-Furuta不等式 591
25. 5利用转换点和不动点 593
25.6利用算子谱论建立不等式 598
习题 599
参考文献 600
第26章 变分方法 603
26.1变分方法的若干基本知识 603
26.2变分方法建立不等式的例子 605
26.3参数表达泛函的极值与条件极值问题 612
26.4使用Weierstrass的ε函数 614
习题 617
参考文献 618
第27章 概率方法 619
27.1概率论中有关知识和公式 620
27.2解答来自高中的数学题 621
27. 3利用概率方法建立不等式举例 623
27.4利用概率方法建立著名不等式 628
27.5利用概率方法建立积分不等式 639
27. 6推广的对数平均与恒等平均 642
习题 644
参考文献 645
第28章 矩阵方法 647
28.1构造矩阵证明离散不等式 647
28.2 Ferscha的构造矩阵方法 661
28.3关于矩阵迹的基本不等式 662
28.4矩阵形式的调和—几何-算术平均不等式 664
28. 5矩阵形式的Holder, Minkowski及其他不等式 666
28.6 Hadamard乘积与K ronecker乘积基本知识 670
28.7 Hadamard乘积与Kronecker乘积的相关不等式 672
28.8积和式及其相关不等式 675
习题 685
参考文献 687
第29章 信息论方法 693
29. 1信息论的基本知识和符号 693
29.2用信息论方法建立不等式 696
29. 3在Shannon熵中的应用（1） 699
29.4在Shannon熵中的应用（2） 702
29. 5距离函数和互信息 704
习题 706
参考文献 706
30章 软件方法 708
30. 1数学计算软件 709
30.2使用数学软件证明举例 713
30.3使用计算机证明 720
30.4使用机械化证明的注释及其他应用 721
参考文献 722
31章 机械化方法 724
31.1不完全柱形代数分解方法（PCAD） 724
31.2配平方和方法（SOS） 729
31.3差分代换方法（SDS） 732
参考文献 736