数学·统计学系列 建立不等式的方法PDF电子书下载

第0章 科学家论数学与不等式 1

第1章 平均与范数 6

1.1常见的平均 6

1.2著名平均与公理体系 9

1.3一些其他的著名平均 12

1.4关于两个量的平均 22

1.5常见的范数 29

习题 30

参考文献 31

第2章 几何平均-算术平均不等式 34

2.1不等式G2≤A2的证明 34

2.2不等式Gn≤An的证明 40

2.3关于GA不等式的用场 52

习题 57

参考文献 58

第3章 利用基本不等式方法 60

3.1基本的不等式及其基本关系 60

3.2利用GA不等式 64

3.3 Holder, Cauchy和Minkowski不等式的相关注释 73

3.4利用Cauchy不等式和Holder不等式 79

3.5利用Minkowski不等式和三角形不等式 87

3.6利用Bernoulli不等式 91

3.7利用чeoьuueβ不等式 94

3.8利用Jensen不等式 99

习题 101

参考文献 103

第4章 数学归纳法与抽屉原理方法 105

4.1数学归纳法 105

4.2利用反向归纳法 105

4.3利用一般数学归纳法 109

4.4一种递推不等式 121

4.5抽屉原理 123

习题 127

参考文献 129

第5章 几何、图论、向量、复数和判别式方法 130

5. 1几何方法 130

5. 2图论方法 141

5. 3向量方法 143

5.4复数方法 148

5. 5判别式方法 157

习题 166

参考文献 169

第6章 凸性函数法 173

6.1关于凸函数的一些知识 173

6.2借助凸（凹）函数建立著名不等式 178

6.3 Hermite-Hadamard不等式之推广 184

6.4 Jensen不等式的另类推广和加细 190

6. 5 γ—凸函数 195

6.6几何凸函数及其相关性质 199

习题 202

参考文献 203

第7章 单调方法 208

7.1单调性的有关定理 208

7.2利用函数的单调性 209

习题 219

参考文献 220

第8章 中值定理法 222

8. 1中值定理的有关知识 222

8.2利用微分中值定理 224

8.3利用积分中值定理 234

习题 235

参考文献 236

第9章 极值方法 238

9.1求极值的有关思路与定理 238

9.2极值方法的证明 240

习题 256

参考文献 257

第10章 确界方法和收缩方法 259

10. 1确界的性质 259

10.2利用确界性质证明不等式 260

10.3收缩方法 271

习题 271

参考文献 272

第11章 λ方法和Mercer方法 273

11. 1 λ方法 273

11.2 Mercer方法 275

习题 278

参考文献 279

第12章 不等式与数学规划 280

12.1函数方程法 280

12.2动态规划的一种归纳程序 284

12.3动态规划的模型 285

12.4逆序解法与顺序解法 291 12.5来自经济学中的数学模型 295

12.6连续的动态规划方法 298

习题 304

参考文献 305

第13章 幂级数方法 307

13.1有关幂级数的知识 307

13.2利用幂级数建立不等式 308

习题 324

参考文献 325

第14章Fourier级数方法 327

14.1展开定理 327

14.2利用Fourier级数建立不等式 328

参考文献 332

第15章 权系数方法 334

15.1权系数方法 335

15.2 Hardy-Hilbert型不等式的一些相关研究 338

15.3发展的权函数方法 342

15.4对加强的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法 349

15.5对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（1 ） 355

15.6对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（2） 359

15.7对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式 使用权函数方法（3） 362

15.8Carleman不等式 367

习题 373

参考文献 373

第16章 恒等式法及其相关方法 378

16.1恒等式法1（离散型） 378

16.2恒等式法2（积分型） 396

16.3放缩法 402

16. 4松弛法 407

16. 5代换方法 407

习题 416

参考文献 419

第17章 受控方法 421

17. 1控制不等式与凸性函数的基本知识 422

17.2用受控方法建立不等式 426

习题 441

参考文献 442

第18章 支撑函数方法 444

18.1支撑函数的有关知识 444

18.2利用支撑函数理论建立不等式 447

18.3利用支撑函数建立行列式不等式 453

习题 456

参考文献 456

第19章 拟线性化方法 458

19.1拟线性化的有关知识 458

19.2利用拟线性方法建立不等式 460

习题 465

参考文献 465

第20章 用导数和积分的定义和性质 466

20.1利用导数和积分的定义 466

20.2利用积分的性质 469

20.3利用多元积分和反常积分性质 480

习题 488

参考文献 489

第21章Benson方法 491

21.1建立不等式的Benson方法的思路 491

21.2涉及（u′）2的不等式 492

21.3涉及（u′）2n的不等式 495

21.4涉及（u＂）2与（u＂）2n的不等式 498

21.5涉及（u（n））2与（u（n））2m的不等式 500

21.6涉及多元函数的不等式和导数的幂函数不等式 502

习题 504

参考文献 505

第22章 逐步调整法 507

22. 1逐步调整法的有关定理 507

22.2利用局部逐步调整法建立不等式 508

习题 512

参考文献 513

第23章 降维法 514

23.1问题的提出 515

23. 2GA不等式及其相关命题 515

23.3一些著名的不等式 518

23.4幂平均不等式和Fan型不等式 521

23. 5再论构造函数因子法 523

23. 6齐次对称函数不等式 525

23. 7 L—单调函数方法 536

习题 545

参考文献 545

第24章 物理方法 549

24. 1关于形心的一些知识 550

24.2一些不等式的形心法与光学法证明 551

24.3热力学方面的一些知识 561

24.4基本不等式的热力学证明 562

习题 564

参考文献 564

第25章 泛函分析方法 567

25.1利用线性赋范空间和内积空间的特性 567

25.2利用算子的正性 576

25.3利用非线性正泛函 584

25.4 Hilbert空间上的Heinz-Kato-Furuta不等式 591

25. 5利用转换点和不动点 593

25.6利用算子谱论建立不等式 598

习题 599

参考文献 600

第26章 变分方法 603

26.1变分方法的若干基本知识 603

26.2变分方法建立不等式的例子 605

26.3参数表达泛函的极值与条件极值问题 612

26.4使用Weierstrass的ε函数 614

习题 617

参考文献 618

第27章 概率方法 619

27.1概率论中有关知识和公式 620

27.2解答来自高中的数学题 621

27. 3利用概率方法建立不等式举例 623

27.4利用概率方法建立著名不等式 628

27.5利用概率方法建立积分不等式 639

27. 6推广的对数平均与恒等平均 642

习题 644

参考文献 645

第28章 矩阵方法 647

28.1构造矩阵证明离散不等式 647

28.2 Ferscha的构造矩阵方法 661

28.3关于矩阵迹的基本不等式 662

28.4矩阵形式的调和—几何-算术平均不等式 664

28. 5矩阵形式的Holder, Minkowski及其他不等式 666

28.6 Hadamard乘积与K ronecker乘积基本知识 670

28.7 Hadamard乘积与Kronecker乘积的相关不等式 672

28.8积和式及其相关不等式 675

习题 685

参考文献 687

第29章 信息论方法 693

29. 1信息论的基本知识和符号 693

29.2用信息论方法建立不等式 696

29. 3在Shannon熵中的应用（1） 699

29.4在Shannon熵中的应用（2） 702

29. 5距离函数和互信息 704

习题 706

参考文献 706

30章 软件方法 708

30. 1数学计算软件 709

30.2使用数学软件证明举例 713

30.3使用计算机证明 720

30.4使用机械化证明的注释及其他应用 721

参考文献 722

31章 机械化方法 724

31.1不完全柱形代数分解方法（PCAD） 724

31.2配平方和方法（SOS） 729

31.3差分代换方法（SDS） 732

参考文献 736