第1章 毕达哥拉斯定理 1
1.1算术与几何 1
1.2毕达哥拉斯三元数组 2
1.3圆上的有理点 4
1.4直角三角形 7
1.5无理数 8
1.6距离的定义 10
1.7人物小传:毕达哥拉斯 11
第2章 希腊几何 13
2.1演绎方法 13
2.2正多面体 15
2.3 直尺圆规作图 19
2.4圆锥截线 21
2.5高次曲线 23
2.6人物小传:欧几里得 27
第3章 希腊数论 29
3.1数论的作用 29
3.2多角形数,素数和完全数 29
3.3欧几里得算法 32
3.4佩尔方程 34
3.5弦和切线法 37
3.6人物小传:丢番图 38
第4章 希腊数学中的无穷 41
4.1敬畏无穷 41
4.2欧多克索斯的比例理论 42
4.3穷竭法 44
4.4抛物线弓形的面积 48
4.5人物小传:阿基米德 50
第5章 亚洲的数论 53
5.1欧几里得算法 53
5.2中国剩余定理 54
5.3线性丢番图方程 56
5.4婆罗摩笈多著作中的佩尔方程 57
5.5婆什迦罗第二著作中的佩尔方程 59
5.6有理三角形 61
5.7人物小传:婆罗摩笈多和婆什迦罗 64
第6章 多项式方程 67
6.1代数 67
6.2线性方程组与消元法 68
6.3二次方程 70
6.4二次无理数 73
6.5三次方程的解 74
6.6分角问题 76
6.7高次方程 78
6.8人物小传:塔尔塔利亚、卡尔达诺和韦达 79
第7章 解析几何 85
7.1迈向解析几何之路 85
7.2费马和笛卡儿 86
7.3代数曲线 87
7.4牛顿的三次方程分类 89
7.5方程作图和贝祖定理 91
7.6几何的算术化 93
7.7人物小传:笛卡儿 94
第8章 射影几何 99
8.1透视 99
8.2畸变图 102
8.3德萨格的射影几何 103
8.4曲线的射影图 106
8.5齐次坐标 110
8.6再谈贝祖定理 113
8.7帕斯卡定理 114
8.8人物小传:德萨格和帕斯卡 116
第9章 微积分 121
9.1什么是微积分? 121
9.2关于面积和体积的早期结果 122
9.3极大(值)、极小(值)和切线 124
9.4沃利斯的《无穷算术》 125
9.5牛顿的级数演算 128
9.6莱布尼茨的微积分 131
9.7人物小传:沃利斯、牛顿和莱布尼茨 132
第10章 无穷级数 139
10.1早期结果 139
10.2幂级数 142
10.3关于插值的插话 144
10.4级数的求和 145
10.5分数幂级数 146
10.6生成函数 148
10.7ζ函数 150
10.8人物小传:格雷戈里和欧拉 151
第11章 数论的复兴 157
11.1在丢番图与费马之间 157
11.2费马小定理 160
11.3费马大定理 162
11.4有理直角三角形 163
11.5亏格为0的三次曲线上的有理点 166
11.6亏格为1的三次曲线上的有理点 168
11.7人物小传:费马 171
第12章 椭圆函数 175
12.1椭圆函数和三角函数 175
12.2三次曲线的参数化 175
12.3椭圆积分 176
12.4双纽线弧的倍弧 178
12.5一般的加法定理 180
12.6椭圆函数 182
12.7再说双纽线 183
12.8人物小传:阿贝尔和雅可比 184
第13章 力学 189
13.1微积分前的力学 189
13.2天体力学 191
13.3机械曲线 192
13.4弦振动 196
13.5流体动力学 199
13.6人物小传:伯努利家族 201
第14章 代数中的复数 207
14.1不可能的数 207
14.2二次方程 207
14.3三次方程 208
14.4沃利斯对复数几何解释的尝试 210
14.5分角问题 212
14.6代数基本定理 215
14.7达朗贝尔和高斯的证明 216
14.8人物小传:达朗贝尔 219
第15章 复数和复曲线 223
15.1根与交点 223
15.2复射影直线 225
15.3分支点 227
15.4复射影曲线的拓扑 229
15.5人物小传:黎曼 232
第16章 复数与复函数 237
16.1复函数 237
16.2共形映射 240
16.3柯西定理 241
16.4椭圆函数的双周期性 243
16.5椭圆曲线 246
16.6单值化 249
16.7人物小传:拉格朗日和柯西 250
第17章 微分几何 255
17.1超越曲线 255
17.2平面曲线的曲率 258
17.3曲面的曲率 260
17.4常曲率曲面 262
17.5测地线 263
17.6高斯-博内定理 264
17.7人物小传:哈里奥特和高斯 268
第18章 非欧几里得几何(简称非欧几何) 273
18.1平行公理 273
18.2球面几何 275
18.3波尔约和罗巴切夫斯基的几何 277
18.4贝尔特拉米的射影模型 277
18.5贝尔特拉米的共形模型 280
18.6利用复数的解释 283
18.7人物小传:波尔约和罗巴切夫斯基 287
第19章 群论 291
19.1群的概念 291
19.2置换与方程论 293
19.3置换群 295
19.4多面体群 296
19.5群和几何 299
19.6组合群论 300
19.7人物小传:伽罗瓦 302
第20章 超复数 307
20.1复数的后知之明 307
20.2数对的算术 308
20.3+和×的性质 310
20.4三元数组与四元数组的算术 311
20.5四元数,几何与物理 314
20.6八元数 316
20.7 C, H和O的独特性 318
20.8人物小传:哈密顿 320
第21章 代数数论 325
21.1代数数 325
21.2高斯整数 326
21.3代数整数 329
21.4理想 331
21.5理想因子分解 334
21.6重访平方和 336
21.7环和域 338
21.8人物小传:戴德金、希尔伯特和诺特 340
第22章 拓扑 347
22.1几何与拓扑 347
22.2笛卡儿和欧拉的多面体公式 348
22.3曲面的分类 349
22.4笛卡儿和高斯-博内 352
22.5欧拉示性数与曲率 354
22.6曲面和平面 356
22.7基本群 360
22.8人物小传:庞加莱 361
第23章 集合,逻辑和计算 365
23.1释题 365
23.2集合 366
23.3测度 369
23.4选择公理和大基数 371
23.5对角线论证法 373
23.6可计算性 374
23.7逻辑和哥德尔定理 377
23.8可证性和真理 379
23.9人物小传:哥德尔 381
参考文献 385
索引 411
中英文人名对照表 447
译后记 455