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第1章 毕达哥拉斯定理 1

1.1算术与几何 1

1.2毕达哥拉斯三元数组 2

1.3圆上的有理点 4

1.4直角三角形 7

1.5无理数 8

1.6距离的定义 10

1.7人物小传：毕达哥拉斯 11

第2章 希腊几何 13

2.1演绎方法 13

2.2正多面体 15

2.3 直尺圆规作图 19

2.4圆锥截线 21

2.5高次曲线 23

2.6人物小传：欧几里得 27

第3章 希腊数论 29

3.1数论的作用 29

3.2多角形数，素数和完全数 29

3.3欧几里得算法 32

3.4佩尔方程 34

3.5弦和切线法 37

3.6人物小传：丢番图 38

第4章 希腊数学中的无穷 41

4.1敬畏无穷 41

4.2欧多克索斯的比例理论 42

4.3穷竭法 44

4.4抛物线弓形的面积 48

4.5人物小传：阿基米德 50

第5章 亚洲的数论 53

5.1欧几里得算法 53

5.2中国剩余定理 54

5.3线性丢番图方程 56

5.4婆罗摩笈多著作中的佩尔方程 57

5.5婆什迦罗第二著作中的佩尔方程 59

5.6有理三角形 61

5.7人物小传：婆罗摩笈多和婆什迦罗 64

第6章 多项式方程 67

6.1代数 67

6.2线性方程组与消元法 68

6.3二次方程 70

6.4二次无理数 73

6.5三次方程的解 74

6.6分角问题 76

6.7高次方程 78

6.8人物小传：塔尔塔利亚、卡尔达诺和韦达 79

第7章 解析几何 85

7.1迈向解析几何之路 85

7.2费马和笛卡儿 86

7.3代数曲线 87

7.4牛顿的三次方程分类 89

7.5方程作图和贝祖定理 91

7.6几何的算术化 93

7.7人物小传：笛卡儿 94

第8章 射影几何 99

8.1透视 99

8.2畸变图 102

8.3德萨格的射影几何 103

8.4曲线的射影图 106

8.5齐次坐标 110

8.6再谈贝祖定理 113

8.7帕斯卡定理 114

8.8人物小传：德萨格和帕斯卡 116

第9章 微积分 121

9.1什么是微积分？ 121

9.2关于面积和体积的早期结果 122

9.3极大（值）、极小（值）和切线 124

9.4沃利斯的《无穷算术》 125

9.5牛顿的级数演算 128

9.6莱布尼茨的微积分 131

9.7人物小传：沃利斯、牛顿和莱布尼茨 132

第10章 无穷级数 139

10.1早期结果 139

10.2幂级数 142

10.3关于插值的插话 144

10.4级数的求和 145

10.5分数幂级数 146

10.6生成函数 148

10.7ζ函数 150

10.8人物小传：格雷戈里和欧拉 151

第11章 数论的复兴 157

11.1在丢番图与费马之间 157

11.2费马小定理 160

11.3费马大定理 162

11.4有理直角三角形 163

11.5亏格为0的三次曲线上的有理点 166

11.6亏格为1的三次曲线上的有理点 168

11.7人物小传：费马 171

第12章 椭圆函数 175

12.1椭圆函数和三角函数 175

12.2三次曲线的参数化 175

12.3椭圆积分 176

12.4双纽线弧的倍弧 178

12.5一般的加法定理 180

12.6椭圆函数 182

12.7再说双纽线 183

12.8人物小传：阿贝尔和雅可比 184

第13章 力学 189

13.1微积分前的力学 189

13.2天体力学 191

13.3机械曲线 192

13.4弦振动 196

13.5流体动力学 199

13.6人物小传：伯努利家族 201

第14章 代数中的复数 207

14.1不可能的数 207

14.2二次方程 207

14.3三次方程 208

14.4沃利斯对复数几何解释的尝试 210

14.5分角问题 212

14.6代数基本定理 215

14.7达朗贝尔和高斯的证明 216

14.8人物小传：达朗贝尔 219

第15章 复数和复曲线 223

15.1根与交点 223

15.2复射影直线 225

15.3分支点 227

15.4复射影曲线的拓扑 229

15.5人物小传：黎曼 232

第16章 复数与复函数 237

16.1复函数 237

16.2共形映射 240

16.3柯西定理 241

16.4椭圆函数的双周期性 243

16.5椭圆曲线 246

16.6单值化 249

16.7人物小传：拉格朗日和柯西 250

第17章 微分几何 255

17.1超越曲线 255

17.2平面曲线的曲率 258

17.3曲面的曲率 260

17.4常曲率曲面 262

17.5测地线 263

17.6高斯-博内定理 264

17.7人物小传：哈里奥特和高斯 268

第18章 非欧几里得几何（简称非欧几何） 273

18.1平行公理 273

18.2球面几何 275

18.3波尔约和罗巴切夫斯基的几何 277

18.4贝尔特拉米的射影模型 277

18.5贝尔特拉米的共形模型 280

18.6利用复数的解释 283

18.7人物小传：波尔约和罗巴切夫斯基 287

第19章 群论 291

19.1群的概念 291

19.2置换与方程论 293

19.3置换群 295

19.4多面体群 296

19.5群和几何 299

19.6组合群论 300

19.7人物小传：伽罗瓦 302

第20章 超复数 307

20.1复数的后知之明 307

20.2数对的算术 308

20.3+和×的性质 310

20.4三元数组与四元数组的算术 311

20.5四元数，几何与物理 314

20.6八元数 316

20.7 C， H和O的独特性 318

20.8人物小传：哈密顿 320

第21章 代数数论 325

21.1代数数 325

21.2高斯整数 326

21.3代数整数 329

21.4理想 331

21.5理想因子分解 334

21.6重访平方和 336

21.7环和域 338

21.8人物小传：戴德金、希尔伯特和诺特 340

第22章 拓扑 347

22.1几何与拓扑 347

22.2笛卡儿和欧拉的多面体公式 348

22.3曲面的分类 349

22.4笛卡儿和高斯-博内 352

22.5欧拉示性数与曲率 354

22.6曲面和平面 356

22.7基本群 360

22.8人物小传：庞加莱 361

第23章 集合，逻辑和计算 365

23.1释题 365

23.2集合 366

23.3测度 369

23.4选择公理和大基数 371

23.5对角线论证法 373

23.6可计算性 374

23.7逻辑和哥德尔定理 377

23.8可证性和真理 379

23.9人物小传：哥德尔 381

参考文献 385

索引 411

中英文人名对照表 447

译后记 455