第一章 绪论 1
1 常用符号 1
2 基本概念 2
3 一些例子 4
4 纵览 9
第二章 一阶方程 12
1 一个简单线性方程 12
1.1 解析求解：特征线方法 12
1.2 近似求解：有限差分方法 14
2 一类简单拟线性方程 18
2.1 Burger方程 18
2.2 一般情形 21
2.3 导数的突变和破裂时间 23
3 拟线性方程的几何理论 26
4 拟线性方程的Cauchy问题 29
4.1 Cauchy问题 29
4.2 局部解的存在性 30
4.3 解的存在唯一性条件 31
4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程 32
4.5 高维情形 33
4.6 例子 33
5 一阶偏微分方程组 36
5.1 一阶线性偏微分方程组 36
5.2 一阶拟线性偏微分方程组 39
6 总结与思考 42
第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程 44
1 拟线性二阶方程的特征 44
2 奇性的传播 47
3 二阶线性方程的标准形 50
4 一维波动方程 53
5 总结与思考 61
第四章 波动方程 63
1 一维波动方程：方程的导出及定解条件 63
1.1 方程的导出 64
2.1 定解条件 66
2 一维波动方程：Cauchy问题 69
2.1 叠加原理 69
2.2 齐次化原理 70
3 一维波动方程：初边值问题 75
3.1 分离变量法 75
3.2 非齐次方程 83
3.3 非齐次边界条件 84
4 高维波动方程的Cauchy问题 87
4.1 高维空间中的波动方程 87
4.2 定解条件 90
4.3 球平均法 91
4.4 Hadamard降维法 94
4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解 95
5 波的传播 98
5.1 基本概念 98
5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象 100
5.3 解的衰减 102
5.4 解的正则性 104
6 一般的Cauchy问题与初边值问题 105
6.1 一般的Cauchy问题 105
6.2 初边值问题 107
7 能量不等式 110
7.1 动能和位能 111
7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性 112
7.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性 116
8 总结与思考 120
第五章 热传导方程 123
1 热传导方程的导出及其定解条件 123
1.1 方程的导出 124
1.2 定解条件 126
2 Cauchy问题 128
2.1 Fourier变换 129
2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法 132
2.3 解的存在性 134
3 初边值问题 137
4 极值原理 141
4.1 极值原理 142
4.2 初边值问题 143
4.3 Cauchy问题 146
5 Li-Yau估计与Harnack不等式 149
6 渐近性态 155
6.1 初边值问题 155
6.2 Cauehy问题 157
7 总结与思考 158
第六章 Laplace方程 160
1 方程的导出及定解条件的提法 160
1.1 方程的导出 161
1.2 定解条件 163
2 变分法 166
2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程 166
2.2 变分原理 172
2.3 变分问题与定解问题的求解 175
3 调和函数 178
3.1 Green公式 178
3.2 基本积分公式 179
3.3 基本性质 181
3.4 极值原理 183
3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性 184
4 Green函数 187
4.1 引进Green函数的动机及其基本性质 187
4.2 镜像法 190
4.3 解的验证 195
5 调和函数（续） 197
6 强极值原理 203
6.1 强极值原理 203
6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性 205
7 总结与思考 208
第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步 210
1 拟线性双曲守恒律方程组 210
1.1 基本概念 210
1.2 例子 212
1.3 解的破裂 219
2 间断解 220
2.1 解的定义 220
2.2 Rankine-Hugoniot条件 221
2.3 熵条件 222
2.4 Riemann问题 224
3 非线性波：经典解情形 225
3.1 疏散波与压缩波 225
3.2 应用实例——追赶问题 227
4 非线性波：间断解情形 232
4.1 单个守恒律 233
4.2 激波的形成与传播 234
4.3 Riemann问题（续） 237
5 总结与思考 242
第八章 Cauchy-Kovalevkaya定理 244
1 准备知识 244
1.1 多重无穷级数 244
1.2 实解析函数 248
1.3 实解析函数（续） 251
2 Cauchy-Kovalevlmya定理 255
2.1 Cauchy-Kovalevkaya定理 255
2.2 Cauchy-Kovalcvkaya定理的证明 257
3 一些注记 260
附录一 Fourier反演公式 262
附录二 Li-Yau估计 264
参考文献 270