偏微分方程 19PDF电子书下载

第一章 绪论 1

1 常用符号 1

2 基本概念 2

3 一些例子 4

4 纵览 9

第二章 一阶方程 12

1 一个简单线性方程 12

1.1 解析求解：特征线方法 12

1.2 近似求解：有限差分方法 14

2 一类简单拟线性方程 18

2.1 Burger方程 18

2.2 一般情形 21

2.3 导数的突变和破裂时间 23

3 拟线性方程的几何理论 26

4 拟线性方程的Cauchy问题 29

4.1 Cauchy问题 29

4.2 局部解的存在性 30

4.3 解的存在唯一性条件 31

4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程 32

4.5 高维情形 33

4.6 例子 33

5 一阶偏微分方程组 36

5.1 一阶线性偏微分方程组 36

5.2 一阶拟线性偏微分方程组 39

6 总结与思考 42

第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程 44

1 拟线性二阶方程的特征 44

2 奇性的传播 47

3 二阶线性方程的标准形 50

4 一维波动方程 53

5 总结与思考 61

第四章 波动方程 63

1 一维波动方程：方程的导出及定解条件 63

1.1 方程的导出 64

2.1 定解条件 66

2 一维波动方程：Cauchy问题 69

2.1 叠加原理 69

2.2 齐次化原理 70

3 一维波动方程：初边值问题 75

3.1 分离变量法 75

3.2 非齐次方程 83

3.3 非齐次边界条件 84

4 高维波动方程的Cauchy问题 87

4.1 高维空间中的波动方程 87

4.2 定解条件 90

4.3 球平均法 91

4.4 Hadamard降维法 94

4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解 95

5 波的传播 98

5.1 基本概念 98

5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象 100

5.3 解的衰减 102

5.4 解的正则性 104

6 一般的Cauchy问题与初边值问题 105

6.1 一般的Cauchy问题 105

6.2 初边值问题 107

7 能量不等式 110

7.1 动能和位能 111

7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性 112

7.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性 116

8 总结与思考 120

第五章 热传导方程 123

1 热传导方程的导出及其定解条件 123

1.1 方程的导出 124

1.2 定解条件 126

2 Cauchy问题 128

2.1 Fourier变换 129

2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法 132

2.3 解的存在性 134

3 初边值问题 137

4 极值原理 141

4.1 极值原理 142

4.2 初边值问题 143

4.3 Cauchy问题 146

5 Li-Yau估计与Harnack不等式 149

6 渐近性态 155

6.1 初边值问题 155

6.2 Cauehy问题 157

7 总结与思考 158

第六章 Laplace方程 160

1 方程的导出及定解条件的提法 160

1.1 方程的导出 161

1.2 定解条件 163

2 变分法 166

2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程 166

2.2 变分原理 172

2.3 变分问题与定解问题的求解 175

3 调和函数 178

3.1 Green公式 178

3.2 基本积分公式 179

3.3 基本性质 181

3.4 极值原理 183

3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性 184

4 Green函数 187

4.1 引进Green函数的动机及其基本性质 187

4.2 镜像法 190

4.3 解的验证 195

5 调和函数（续） 197

6 强极值原理 203

6.1 强极值原理 203

6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性 205

7 总结与思考 208

第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步 210

1 拟线性双曲守恒律方程组 210

1.1 基本概念 210

1.2 例子 212

1.3 解的破裂 219

2 间断解 220

2.1 解的定义 220

2.2 Rankine-Hugoniot条件 221

2.3 熵条件 222

2.4 Riemann问题 224

3 非线性波：经典解情形 225

3.1 疏散波与压缩波 225

3.2 应用实例——追赶问题 227

4 非线性波：间断解情形 232

4.1 单个守恒律 233

4.2 激波的形成与传播 234

4.3 Riemann问题（续） 237

5 总结与思考 242

第八章 Cauchy-Kovalevkaya定理 244

1 准备知识 244

1.1 多重无穷级数 244

1.2 实解析函数 248

1.3 实解析函数（续） 251

2 Cauchy-Kovalevlmya定理 255

2.1 Cauchy-Kovalevkaya定理 255

2.2 Cauchy-Kovalcvkaya定理的证明 257

3 一些注记 260

附录一 Fourier反演公式 262

附录二 Li-Yau估计 264

参考文献 270