第9章 微分方程 1
9.1 微分方程的基本概念 1
9.1.1 定义 1
9.1.2 建立微分方程举例 5
习题9.1 8
9.2 一阶微分方程 9
9.2.1 可分离变量的方程 9
9.2.2 一阶线性方程 15
9.2.3 齐次型方程 19
9.2.4 伯努利方程 22
习题9.2 25
9.3 可降阶的高阶微分方程 27
9.3.1 形如y(n)=f(x)的微分方程 27
9.3.2 形如y＂=f(x，y＇)的微分方程 28
9.3.3 形如y＂=(y，y＇)的微分方程 31
习题9.3 34
9.4 线性微分方程 35
9.4.1 二阶线性微分方程 35
9.4.2 二阶线性微分方程解的结构 37
9.4.3 二阶线性常系数微分方程的解法 41
9.4.4 高阶线性常系数微分方程及线性方程组 56
9.4.5 欧拉（Euler）方程 60
习题9.4 62
9.5 数学模型与拓展 64
9.5.1 与微分方程相关的例子 64
9.5.2 小课题研讨：死亡时间的推测 69
9.5.3 微分方程近似解法简介 70
9.5.4 差分方程 75
第9章 总习题 82
第10章 向量与空间解析几何 84
10.1 向量及其运算 84
10.1.1 向量的概念 84
10.1.2 向量的线性运算 85
10.1.3 内积 89
10.1.4 向量的外积与混合积 92
习题10.1 95
10.2 空间直角坐标系与向量代数 96
10.2.1 空间直角坐标系 96
10.2.2 向量沿坐标轴的分解 97
10.2.3 向量代数 99
习题10.2 105
10.3 平面与直线 106
10.3.1 平面 107
10.3.2 直线 112
10.3.3 几个相关问题 116
习题10.3 121
10.4 空间曲面 124
10.4.1 特殊曲面 125
10.4.2 二次曲面 128
习题10.4 134
10.5 一元向量函数 空间曲线 136
10.5.1 一元向量函数与空间曲线方程 136
10.5.2 一元向量函数的导数 140
10.5.3 一元向量函数的积分空间曲线的弧长 142
习题10.5 144
10.6 数学模型与拓展 145
第10章 总习题 147
第11章 多元函数微分学 150
11.1 多元函数 150
11.1.1 多元函数的概念 150
11.1.2 点集的基本知识 152
11.1.3 二元函数的几何表示 155
11.1.4 多元函数的极限 157
11.1.5 多元函数的连续性 160
习题11.1 163
11.2 偏导数 165
11.2.1 偏导数的概念 165
11.2.2 全微分的概念 169
11.2.3 全微分在近似计算中的应用 175
11.2.4 方向导数及梯度 177
习题11.2 183
11.3 复合函数微分法 186
11.3.1 链式法则 186
11.3.2 全微分的形式不变性 190
习题11.3 192
11.4 隐函数微分法 194
11.4.1 由一个方程确定的隐函数 194
11.4.2 由方程组确定的隐函数 196
11.4.3 隐函数存在定理 200
习题11.4 201
11.5 多元函数微分学在几何学上的应用 203
11.5.1 空间曲线的切线与法平面 203
11.5.2 空间曲面的切平面与法线 206
习题11.5 208
11.6 泰勒公式 209
11.6.1 高阶偏导数 209
11.6.2 泰勒公式 216
习题11.6 219
11.7 多元函数的极值与最值 220
11.7.1 多元函数的极值 220
11.7.2 多元函数的最大值与最小值 225
11.7.3 条件极值与拉格朗日乘数法 228
习题11.7 233
11.8 数学模型与拓展 234
11.8.1 壳形舒适座椅图形的绘制 234
11.8.2 多元函数微分学在经济中的应用 237
11.8.3 最小二乘法 243
第11章 总习题 247
第12章 多元函数的积分及其应用 250
12.1 多元函数积分的概念与性质 250
12.1.1 多元函数积分问题的产生 250
12.1.2 多元函数积分的概念 253
12.1.3 多元函数积分的性质 260
习题12.1 262
12.2 二重积分的计算 264
12.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 264
12.2.2 二重积分在极坐标系下的计算方法 272
12.2.3 二重积分的换元法则 277
习题12.2 284
12.3 三重积分的计算 287
12.3.1 直角坐标系下三重积分的计算 288
12.3.2 柱面坐标系下三重积分的计算 293
12.3.3 球面坐标系下三重积分的计算 298
12.3.4 三重积分的换元法则 302
习题12.3 305
12.4 第一型曲线积分的计算 308
12.4.1 第一型平面曲线积分的计算方法 308
12.4.2 第一型空间曲线积分的计算方法 311
习题12.4 314
12.5 第一型曲面积分的计算 315
12.5.1 曲面的面积 315
12.5.2 第一型曲面积分的计算方法 319
习题12.5 323
12.6 多元函数积分的应用 324
12.6.1 质心一阶矩 324
12.6.2 转动惯量二阶矩 330
12.6.3 引力 333
习题12.6 337
12.7 数学模型与拓展 338
第12章 总习题 342
第13章 向量函数的积分 346
13.1 第二型曲线积分 346
13.1.1 向量场 346
13.1.2 第二型曲线积分问题的产生 349
13.1.3 第二型曲线积分的定义和性质 351
13.1.4 第二型曲线积分的计算方法 354
13.1.5 两类曲线积分之间的联系 358
习题13.1 360
13.2 格林公式 362
13.2.1 格林公式 362
13.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 369
13.2.3 全微分与全微分求积 374
习题13.2 380
13.3 第二型曲面积分 382
13.3.1 第二型曲面积分问题的产生 382
13.3.2 第二型曲面积分的定义和性质 384
13.3.3 第二型曲面积分的计算方法 391
13.3.4 两类曲面积分之间的联系 395
习题13.3 396
13.4 高斯公式 397
13.4.1 通量和散度 397
13.4.2 高斯公式 399
13.4.3 无散度场的曲面积分 406
习题13.4 410
13.5 斯托克斯公式 411
13.5.1 斯托克斯公式 412
13.5.2 环量和旋度 414
13.5.3 无旋场的曲线积分 418
习题13.5 423
13.6 数学模型与拓展 425
13.6.1 小课题研讨：飓风模型 425
13.6.2 全微分方程积分因子 427
第13章 总习题 430
第14章 傅里叶级数 434
14.1 引言 435
14.1.1 周期函数 435
14.1.2 三角函数系的正交性 436
习题14.1 437
14.2 周期函数的傅里叶级数展开 438
14.2.1 周期为2π的函数的傅里叶级数展开 438
14.2.2 傅里叶级数的性质 445
14.2.3 周期为2l的函数的傅里叶级数展开 445
习题14.2 448
14.3 有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开 449
14.3.1 周期延拓 449
14.3.2 奇延拓和偶延拓 451
习题14.3 453
14.4 数学模型与拓展 454
14.4.1 小课题研讨：傅里叶系数的几何意义 454
14.4.2 傅里叶级数的复数形式 457
第14章 总习题 457
附录Ⅰ 行列式与线性方程组 459
Ⅰ.1 行列式 459
Ⅰ.1.1 行列式的概念 459
Ⅰ.1.2 二阶行列式 459
Ⅰ.1.3 三阶行列式与四阶行列式 460
Ⅰ.1.4 行列式的主要性质 461
Ⅰ.2 线性方程组 462
Ⅰ.2.1 克拉默法则 463
Ⅰ.2.2 齐次线性方程组 463
附录Ⅰ 总习题 464
附录Ⅱ 习题参考答案 465