高等数学 下PDF电子书下载

第9章　微分方程 1

9.1 微分方程的基本概念 1

9.1.1 定义 1

9.1.2　建立微分方程举例 5

习题9.1 8

9.2　一阶微分方程 9

9.2.1　可分离变量的方程 9

9.2.2　一阶线性方程 15

9.2.3　齐次型方程 19

9.2.4　伯努利方程 22

习题9.2 25

9.3 可降阶的高阶微分方程 27

9.3.1　形如y(n)=f(x)的微分方程 27

9.3.2　形如y＂=f(x，y＇)的微分方程 28

9.3.3　形如y＂=(y，y＇)的微分方程 31

习题9.3 34

9.4　线性微分方程 35

9.4.1　二阶线性微分方程 35

9.4.2　二阶线性微分方程解的结构 37

9.4.3　二阶线性常系数微分方程的解法 41

9.4.4　高阶线性常系数微分方程及线性方程组 56

9.4.5　欧拉（Euler）方程 60

习题9.4 62

9.5　数学模型与拓展 64

9.5.1 与微分方程相关的例子 64

9.5.2　小课题研讨：死亡时间的推测 69

9.5.3　微分方程近似解法简介 70

9.5.4　差分方程 75

第9章　总习题 82

第10章 向量与空间解析几何 84

10.1 向量及其运算 84

10.1.1 向量的概念 84

10.1.2　向量的线性运算 85

10.1.3　内积 89

10.1.4　向量的外积与混合积 92

习题10.1 95

10.2　空间直角坐标系与向量代数 96

10.2.1 空间直角坐标系 96

10.2.2　向量沿坐标轴的分解 97

10.2.3 向量代数 99

习题10.2 105

10.3　平面与直线 106

10.3.1 平面 107

10.3.2　直线 112

10.3.3　几个相关问题 116

习题10.3 121

10.4 空间曲面 124

10.4.1　特殊曲面 125

10.4.2　二次曲面 128

习题10.4 134

10.5 一元向量函数 空间曲线 136

10.5.1 一元向量函数与空间曲线方程 136

10.5.2　一元向量函数的导数 140

10.5.3 一元向量函数的积分空间曲线的弧长 142

习题10.5 144

10.6　数学模型与拓展 145

第10章　总习题 147

第11章 多元函数微分学 150

11.1 多元函数 150

11.1.1 多元函数的概念 150

11.1.2　点集的基本知识 152

11.1.3　二元函数的几何表示 155

11.1.4　多元函数的极限 157

11.1.5 多元函数的连续性 160

习题11.1 163

11.2 偏导数 165

11.2.1 偏导数的概念 165

11.2.2　全微分的概念 169

11.2.3　全微分在近似计算中的应用 175

11.2.4　方向导数及梯度 177

习题11.2 183

11.3　复合函数微分法 186

11.3.1　链式法则 186

11.3.2　全微分的形式不变性 190

习题11.3 192

11.4　隐函数微分法 194

11.4.1 由一个方程确定的隐函数 194

11.4.2 由方程组确定的隐函数 196

11.4.3　隐函数存在定理 200

习题11.4 201

11.5 多元函数微分学在几何学上的应用 203

11.5.1 空间曲线的切线与法平面 203

11.5.2　空间曲面的切平面与法线 206

习题11.5 208

11.6　泰勒公式 209

11.6.1　高阶偏导数 209

11.6.2　泰勒公式 216

习题11.6 219

11.7 多元函数的极值与最值 220

11.7.1 多元函数的极值 220

11.7.2　多元函数的最大值与最小值 225

11.7.3 条件极值与拉格朗日乘数法 228

习题11.7 233

11.8　数学模型与拓展 234

11.8.1 壳形舒适座椅图形的绘制 234

11.8.2　多元函数微分学在经济中的应用 237

11.8.3　最小二乘法 243

第11章　总习题 247

第12章 多元函数的积分及其应用 250

12.1 多元函数积分的概念与性质 250

12.1.1 多元函数积分问题的产生 250

12.1.2　多元函数积分的概念 253

12.1.3　多元函数积分的性质 260

习题12.1 262

12.2　二重积分的计算 264

12.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 264

12.2.2　二重积分在极坐标系下的计算方法 272

12.2.3　二重积分的换元法则 277

习题12.2 284

12.3　三重积分的计算 287

12.3.1 直角坐标系下三重积分的计算 288

12.3.2　柱面坐标系下三重积分的计算 293

12.3.3　球面坐标系下三重积分的计算 298

12.3.4　三重积分的换元法则 302

习题12.3 305

12.4　第一型曲线积分的计算 308

12.4.1 第一型平面曲线积分的计算方法 308

12.4.2　第一型空间曲线积分的计算方法 311

习题12.4 314

12.5　第一型曲面积分的计算 315

12.5.1　曲面的面积 315

12.5.2　第一型曲面积分的计算方法 319

习题12.5 323

12.6 多元函数积分的应用 324

12.6.1 质心一阶矩 324

12.6.2　转动惯量二阶矩 330

12.6.3　引力 333

习题12.6 337

12.7　数学模型与拓展 338

第12章　总习题 342

第13章 向量函数的积分 346

13.1 第二型曲线积分 346

13.1.1 向量场 346

13.1.2　第二型曲线积分问题的产生 349

13.1.3　第二型曲线积分的定义和性质 351

13.1.4　第二型曲线积分的计算方法 354

13.1.5　两类曲线积分之间的联系 358

习题13.1 360

13.2　格林公式 362

13.2.1 格林公式 362

13.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件 369

13.2.3　全微分与全微分求积 374

习题13.2 380

13.3 第二型曲面积分 382

13.3.1 第二型曲面积分问题的产生 382

13.3.2　第二型曲面积分的定义和性质 384

13.3.3　第二型曲面积分的计算方法 391

13.3.4　两类曲面积分之间的联系 395

习题13.3 396

13.4　高斯公式 397

13.4.1　通量和散度 397

13.4.2　高斯公式 399

13.4.3　无散度场的曲面积分 406

习题13.4 410

13.5　斯托克斯公式 411

13.5.1　斯托克斯公式 412

13.5.2　环量和旋度 414

13.5.3 无旋场的曲线积分 418

习题13.5 423

13.6　数学模型与拓展 425

13.6.1　小课题研讨：飓风模型 425

13.6.2　全微分方程积分因子 427

第13章　总习题 430

第14章　傅里叶级数 434

14.1 引言 435

14.1.1 周期函数 435

14.1.2　三角函数系的正交性 436

习题14.1 437

14.2 周期函数的傅里叶级数展开 438

14.2.1 周期为2π的函数的傅里叶级数展开 438

14.2.2　傅里叶级数的性质 445

14.2.3 周期为2l的函数的傅里叶级数展开 445

习题14.2 448

14.3 有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开 449

14.3.1　周期延拓 449

14.3.2　奇延拓和偶延拓 451

习题14.3 453

14.4　数学模型与拓展 454

14.4.1　小课题研讨：傅里叶系数的几何意义 454

14.4.2　傅里叶级数的复数形式 457

第14章　总习题 457

附录Ⅰ 行列式与线性方程组 459

Ⅰ.1 行列式 459

Ⅰ.1.1 行列式的概念 459

Ⅰ.1.2　二阶行列式 459

Ⅰ.1.3　三阶行列式与四阶行列式 460

Ⅰ.1.4　行列式的主要性质 461

Ⅰ.2　线性方程组 462

Ⅰ.2.1　克拉默法则 463

Ⅰ.2.2　齐次线性方程组 463

附录Ⅰ　总习题 464

附录Ⅱ 习题参考答案 465