绪论 实数 1
1．有理数域 1
1．前言 1
目录 1
2．有理数域的序 2
3．有理数的加法及减法 2
4．有理数的乘法及除法 4
5．阿基米德公理 5
6．无理数的定义 6
2．无理数的导入·实数域的序 6
7．实数域的序 8
8．辅助命题 9
9．用无限小数来表示实数 10
10．实数域的连续性 12
11．数集的界 12
3．实数的算术运算 15
12．实数的和的定义 15
13．加法的性质 16
14．实数的积的定义 17
15．乘法的性质 18
16．结论 19
17．绝对值 20
4．实数的其他性质及应用 21
18．根的存在·以有理数为指数的幂 21
19．以任意实数为指数的幂 22
20．对数 24
21．线段的度量 25
22．变量、整序变量 28
1．整序变量及其极限 28
第一章 极限论 28
23．整序变量的极限 31
24．无穷小量 32
25．例题 33
26．关于有极限的整序变量的一些定理 37
27．无穷大量 38
2．极限的定理·若干容易求得的极限 40
28．对等式及不等式取极限 40
29．关于无穷小的引理 42
30．变量的算术运算 43
31．不定式 44
32．极限求法的例题 46
33．斯托尔茨（O.Stolz）定理 50
及其应用 50
3．单调整序变量 53
34．单调整序变量的极限 53
35．例题 55
36．数e 60
37．数e的近似计算法 62
38．关于区间套的引理 64
4．收敛原理·部分极限 66
39．收敛原理 66
40．部分数列及部分极限 68
41．布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weier8trass）引理 69
42．上极限及下极限 70
第二章 一元函数 74
1．函数概念 74
43．变量及其变动区域 74
44．变量间的函数关系，例题 75
45．函数概念的定义 76
46．函数的解析表示法 78
47．函数的图像 80
48．几类最重要的函数 81
49．反函数的概念 86
50．反三角函数 87
51．函数的叠置．总结 91
2．函数的极限 92
52．函数的极限的定义 92
53．变成整序变量的情形 94
54．例题 95
55．极限理论的拓广 103
56．例题 105
57．单调函数的极限 107
58．布尔查诺-柯西的一般判定法 108
59．函数的上极限及下极限 110
3．无穷小及无穷大的分阶 110
60．无穷小的比较 110
61．无穷小的尺度 111
62．等价无穷小 113
63．主部的分出 114
64．应用题 115
65．无穷大的分阶 117
4．函数的连续性及间断 118
66．函数在一点处的连续性的定义 118
67．连续函数的算术运算 119
68．连续函数的例题 120
69．单侧连续·间断的分类 122
70．间断函数的例题 122
71．单调函数的连续性及间断 124
72．初等函数的连续性 125
73．连续函数的叠置 126
74．一个函数方程的解 126
75．指数函数、对数函数及幂函数的函数特性 128
76．三角余弦及双曲余弦的函数特性 130
77．函数的连续性在计算极限时的应用 132
78．幂指数式 135
79．例题 136
80．关于函数取零值的定理 137
5．连续函数的性质 137
81．应用于解方程 139
82．介值定理 140
83．反函数的存在 141
84．关于函数的有界性的定理 143
85．函数的最大值及最小值 143
86．一致连续的概念 145
87．康托定理 147
88．博雷尔引理 148
89．基本定理的新证明 149
第三章 导数及微分 152
1．导数及其求法 152
90．求动点速度的问题 152
91．在曲线上作切线的问题 153
92．导数的定义 155
93．求导数的例题 157
94．反函数的导数 160
95．导数公式一览表 162
96．函数的增量的公式 162
97．求导数的几个简单法则 164
98．复合函数的导数 166
99．例题 166
100．单侧导数 172
101．无穷导数 173
102．特殊情形的例题 174
2．微分 174
103．微分的定义 174
104．可微性与导数存在之间的关系 176
105．微分法的基本公式及法则 177
106．微分的形式不变性 179
107．微分是近似公式的来源 180
108．应用微分来估计误差 183
3．微分学的基本定理 185
109．费马定理 185
110．达布（G.Darboux）定理 186
111．罗尔定理 186
112．拉格朗日公式 187
113．导数的极限 189
114．柯西公式 190
115．高阶导数的定义 191
4．高阶导数及高阶微分 191
116．任意阶导数的普遍公式 193
117．莱布尼茨公式 196
118．例题 198
119．高阶微分 200
120．高阶微分的形式不变性的破坏 201
121．参变量微分法 202
122．有限差分 203
123．多项式的泰勒公式 205
5．泰勒公式 205
124．任意函数的展开式·余项的佩亚诺式 207
125．例题 210
126．余项的其他形式 214
127．近似公式 216
6．插值法 221
128．插值法的最简单问题·拉格朗日公式 221
129．拉格朗日公式的余项 222
130．有重基点的插值法·埃尔米特公式 223
131．函数为常数的条件 226
1．函数的动态的研究 226
第四章 利用导数研究函数 226
132．函数为单调的条件 228
133．不等式的证明 231
134．极大值及极小值·必要条件 234
135．充分条件·第一法则 235
136．例题 236
137．第二法则 240
138．高阶导数的应用 242
139．最大值及最小值的求法 244
140．应用题 245
2．凸（与凹）函数 249
141．凸（与凹）函数的定义 249
142．关于凸函数的简单命题 250
143．函数凸性的条件 252
144．詹森不等式及其应用 254
145．拐点 256
146．问题的提出 258
147．作图的步骤．例题 258
3．函数的作图 258
148．无穷间断·无穷区间渐近线 261
149．例题 263
4．不定式的定值法 266
150．？型不定式 266
151．？型不定式 271
152．其他型的不定式 273
5．方程的近似解 275
153．导言 275
154．比例法则（弦线法） 276
155．牛顿法则（切线法） 279
156．例题及习题 281
157．联合法 285
158．例题及习题 286
第五章 多元函数 290
1．基本概念 290
159．变量之间的函数关系·例题 290
160．二元函数及其定义域 291
161．n维算术空间 293
162．n维空间内的区域举例 297
163．开域及闭域的一般定义 299
164．n元函数 301
165．多元函数的极限 302
166．变成整序变量的情形 304
167．例题 306
168．累次极限 308
2．连续函数 310
169．多元函数的连续性及间断 310
171．在域内连续的函数·布尔查诺-柯西定理 312
170．连续函数的运算 312
172．布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理 314
173．魏尔斯特拉斯定理 316
174．一致连续性 316
175．博雷尔引理 318
176．基本定理的新证明 319
3．多元函数的导数及微分 321
177．偏导数及偏微分 321
178．函数的全增量 324
179．全微分 326
180．二元函数的几何说明 328
181．复合函数的导数 331
182．例题 332
183．有限增量公式 334
184．沿给定方向的导数 336
185．（一阶）微分的形式不变性 338
186．应用全微分于近似算法 340
187．齐次函数 342
188．欧拉公式 343
189．高阶导数 344
4．高阶导数及高阶微分 344
190．关于混合导数的定理 346
191．推广到一般情形 349
192．复合函数的高阶导数 350
193．高阶微分 351
194．复合函数的微分 354
195．泰勒公式 355
5．极值·最大值及最小值 357
196．多元函数的极值·必要条件 357
197．充分条件（二元函数的情形） 359
198．充分条件（一般情形） 363
199．极值不存在的条件 366
200．函数的最大值及最小值·例题 367
201．应用问题 371
第六章 函数行列式及其应用 380
1．函数行列式的性质 380
202．函数行列式（雅可比式）的定义 380
203．雅可比式的乘法 381
204．函数矩阵（雅可比矩阵）的乘法 383
205．一元隐函数的概念 385
2．隐函数 385
206．隐函数的存在 387
207．隐函数的可微性 389
208．多元的隐函数 391
209．隐函数导数的求法 396
210．例题 399
3．隐函数理论的一些应用 403
211．相对极值 403
212．拉格朗日不定乘数法 406
213．相对极值的充分条件 407
214．例题及应用题 408
215．函数的独立性的概念 412
216．雅可比矩阵的秩 414
4．换元法 418
217．一元函数 418
218．例题 420
219．多元函数·自变量的变换 422
220．微分的求法 423
221．换元的一般情形 425
222．例题 427
223．平面曲线（直角坐标系） 436
第七章 微分学在几何上的应用 436
1．曲线及曲面的解析表示法 436
224．例题 438
225．机械性产生的曲线 441
226．平面曲线（极坐标系）例题 444
227．空间的曲面和曲线 448
228．参变量表示式 449
229．例题 451
230．用直角坐标系时平面曲线的切线 454
2．切线及切面 454
231．例题 455
232．用极坐标系时的切线 457
233．例题 458
234．空间曲线的切线·曲面的切面 459
235．例题 463
236．平面曲线的奇异点 464
237．曲线用参变量表示式的情形 468
238．曲线族的包络 469
3．曲线的相切 469
239．例题 472
240．特征点 475
241．二曲线相切的阶 477
242．曲线之一用隐式表示的情形 479
243．密切曲线 480
244．密切曲线的另一求法 482
4．平面曲线的长 482
245．引理 482
246．曲线的方向 484
247．曲线的长·弧长的可加性 485
248．可求长的充分条件·弧的微分 486
249．用弧作为参变量·切线的正向 489
5．平面曲线的曲率 491
250．曲率的概念 491
251．曲率圆及曲率半径 494
252．例题 496
253．曲率中心的坐标 499
254．渐屈线及渐伸线的定义；渐屈线的求法 501
255．渐屈线及渐伸线的性质 503
256．渐伸线的求法 506
附录 函数扩充的问题 508
257．一元函数的情形 508
258．关于二维空间的问题 509
259．辅助命题 511
260．关于扩充的基本定理 514
261．推广到一般情况 515
262．总结 516
索引 519
校订后记 525