微积分学教程 第8版 第1卷PDF电子书下载

绪论 实数 1

1．有理数域 1

1．前言 1

目录 1

2．有理数域的序 2

3．有理数的加法及减法 2

4．有理数的乘法及除法 4

5．阿基米德公理 5

6．无理数的定义 6

2．无理数的导入·实数域的序 6

7．实数域的序 8

8．辅助命题 9

9．用无限小数来表示实数 10

10．实数域的连续性 12

11．数集的界 12

3．实数的算术运算 15

12．实数的和的定义 15

13．加法的性质 16

14．实数的积的定义 17

15．乘法的性质 18

16．结论 19

17．绝对值 20

4．实数的其他性质及应用 21

18．根的存在·以有理数为指数的幂 21

19．以任意实数为指数的幂 22

20．对数 24

21．线段的度量 25

22．变量、整序变量 28

1．整序变量及其极限 28

第一章　极限论 28

23．整序变量的极限 31

24．无穷小量 32

25．例题 33

26．关于有极限的整序变量的一些定理 37

27．无穷大量 38

2．极限的定理·若干容易求得的极限 40

28．对等式及不等式取极限 40

29．关于无穷小的引理 42

30．变量的算术运算 43

31．不定式 44

32．极限求法的例题 46

33．斯托尔茨（O.Stolz）定理 50

及其应用 50

3．单调整序变量 53

34．单调整序变量的极限 53

35．例题 55

36．数e 60

37．数e的近似计算法 62

38．关于区间套的引理 64

4．收敛原理·部分极限 66

39．收敛原理 66

40．部分数列及部分极限 68

41．布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weier8trass）引理 69

42．上极限及下极限 70

第二章　一元函数 74

1．函数概念 74

43．变量及其变动区域 74

44．变量间的函数关系，例题 75

45．函数概念的定义 76

46．函数的解析表示法 78

47．函数的图像 80

48．几类最重要的函数 81

49．反函数的概念 86

50．反三角函数 87

51．函数的叠置．总结 91

2．函数的极限 92

52．函数的极限的定义 92

53．变成整序变量的情形 94

54．例题 95

55．极限理论的拓广 103

56．例题 105

57．单调函数的极限 107

58．布尔查诺-柯西的一般判定法 108

59．函数的上极限及下极限 110

3．无穷小及无穷大的分阶 110

60．无穷小的比较 110

61．无穷小的尺度 111

62．等价无穷小 113

63．主部的分出 114

64．应用题 115

65．无穷大的分阶 117

4．函数的连续性及间断 118

66．函数在一点处的连续性的定义 118

67．连续函数的算术运算 119

68．连续函数的例题 120

69．单侧连续·间断的分类 122

70．间断函数的例题 122

71．单调函数的连续性及间断 124

72．初等函数的连续性 125

73．连续函数的叠置 126

74．一个函数方程的解 126

75．指数函数、对数函数及幂函数的函数特性 128

76．三角余弦及双曲余弦的函数特性 130

77．函数的连续性在计算极限时的应用 132

78．幂指数式 135

79．例题 136

80．关于函数取零值的定理 137

5．连续函数的性质 137

81．应用于解方程 139

82．介值定理 140

83．反函数的存在 141

84．关于函数的有界性的定理 143

85．函数的最大值及最小值 143

86．一致连续的概念 145

87．康托定理 147

88．博雷尔引理 148

89．基本定理的新证明 149

第三章　导数及微分 152

1．导数及其求法 152

90．求动点速度的问题 152

91．在曲线上作切线的问题 153

92．导数的定义 155

93．求导数的例题 157

94．反函数的导数 160

95．导数公式一览表 162

96．函数的增量的公式 162

97．求导数的几个简单法则 164

98．复合函数的导数 166

99．例题 166

100．单侧导数 172

101．无穷导数 173

102．特殊情形的例题 174

2．微分 174

103．微分的定义 174

104．可微性与导数存在之间的关系 176

105．微分法的基本公式及法则 177

106．微分的形式不变性 179

107．微分是近似公式的来源 180

108．应用微分来估计误差 183

3．微分学的基本定理 185

109．费马定理 185

110．达布（G.Darboux）定理 186

111．罗尔定理 186

112．拉格朗日公式 187

113．导数的极限 189

114．柯西公式 190

115．高阶导数的定义 191

4．高阶导数及高阶微分 191

116．任意阶导数的普遍公式 193

117．莱布尼茨公式 196

118．例题 198

119．高阶微分 200

120．高阶微分的形式不变性的破坏 201

121．参变量微分法 202

122．有限差分 203

123．多项式的泰勒公式 205

5．泰勒公式 205

124．任意函数的展开式·余项的佩亚诺式 207

125．例题 210

126．余项的其他形式 214

127．近似公式 216

6．插值法 221

128．插值法的最简单问题·拉格朗日公式 221

129．拉格朗日公式的余项 222

130．有重基点的插值法·埃尔米特公式 223

131．函数为常数的条件 226

1．函数的动态的研究 226

第四章　利用导数研究函数 226

132．函数为单调的条件 228

133．不等式的证明 231

134．极大值及极小值·必要条件 234

135．充分条件·第一法则 235

136．例题 236

137．第二法则 240

138．高阶导数的应用 242

139．最大值及最小值的求法 244

140．应用题 245

2．凸（与凹）函数 249

141．凸（与凹）函数的定义 249

142．关于凸函数的简单命题 250

143．函数凸性的条件 252

144．詹森不等式及其应用 254

145．拐点 256

146．问题的提出 258

147．作图的步骤．例题 258

3．函数的作图 258

148．无穷间断·无穷区间渐近线 261

149．例题 263

4．不定式的定值法 266

150．？型不定式 266

151．？型不定式 271

152．其他型的不定式 273

5．方程的近似解 275

153．导言 275

154．比例法则（弦线法） 276

155．牛顿法则（切线法） 279

156．例题及习题 281

157．联合法 285

158．例题及习题 286

第五章　多元函数 290

1．基本概念 290

159．变量之间的函数关系·例题 290

160．二元函数及其定义域 291

161．n维算术空间 293

162．n维空间内的区域举例 297

163．开域及闭域的一般定义 299

164．n元函数 301

165．多元函数的极限 302

166．变成整序变量的情形 304

167．例题 306

168．累次极限 308

2．连续函数 310

169．多元函数的连续性及间断 310

171．在域内连续的函数·布尔查诺-柯西定理 312

170．连续函数的运算 312

172．布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理 314

173．魏尔斯特拉斯定理 316

174．一致连续性 316

175．博雷尔引理 318

176．基本定理的新证明 319

3．多元函数的导数及微分 321

177．偏导数及偏微分 321

178．函数的全增量 324

179．全微分 326

180．二元函数的几何说明 328

181．复合函数的导数 331

182．例题 332

183．有限增量公式 334

184．沿给定方向的导数 336

185．（一阶）微分的形式不变性 338

186．应用全微分于近似算法 340

187．齐次函数 342

188．欧拉公式 343

189．高阶导数 344

4．高阶导数及高阶微分 344

190．关于混合导数的定理 346

191．推广到一般情形 349

192．复合函数的高阶导数 350

193．高阶微分 351

194．复合函数的微分 354

195．泰勒公式 355

5．极值·最大值及最小值 357

196．多元函数的极值·必要条件 357

197．充分条件（二元函数的情形） 359

198．充分条件（一般情形） 363

199．极值不存在的条件 366

200．函数的最大值及最小值·例题 367

201．应用问题 371

第六章 函数行列式及其应用 380

1．函数行列式的性质 380

202．函数行列式（雅可比式）的定义 380

203．雅可比式的乘法 381

204．函数矩阵（雅可比矩阵）的乘法 383

205．一元隐函数的概念 385

2．隐函数 385

206．隐函数的存在 387

207．隐函数的可微性 389

208．多元的隐函数 391

209．隐函数导数的求法 396

210．例题 399

3．隐函数理论的一些应用 403

211．相对极值 403

212．拉格朗日不定乘数法 406

213．相对极值的充分条件 407

214．例题及应用题 408

215．函数的独立性的概念 412

216．雅可比矩阵的秩 414

4．换元法 418

217．一元函数 418

218．例题 420

219．多元函数·自变量的变换 422

220．微分的求法 423

221．换元的一般情形 425

222．例题 427

223．平面曲线（直角坐标系） 436

第七章 微分学在几何上的应用 436

1．曲线及曲面的解析表示法 436

224．例题 438

225．机械性产生的曲线 441

226．平面曲线（极坐标系）例题 444

227．空间的曲面和曲线 448

228．参变量表示式 449

229．例题 451

230．用直角坐标系时平面曲线的切线 454

2．切线及切面 454

231．例题 455

232．用极坐标系时的切线 457

233．例题 458

234．空间曲线的切线·曲面的切面 459

235．例题 463

236．平面曲线的奇异点 464

237．曲线用参变量表示式的情形 468

238．曲线族的包络 469

3．曲线的相切 469

239．例题 472

240．特征点 475

241．二曲线相切的阶 477

242．曲线之一用隐式表示的情形 479

243．密切曲线 480

244．密切曲线的另一求法 482

4．平面曲线的长 482

245．引理 482

246．曲线的方向 484

247．曲线的长·弧长的可加性 485

248．可求长的充分条件·弧的微分 486

249．用弧作为参变量·切线的正向 489

5．平面曲线的曲率 491

250．曲率的概念 491

251．曲率圆及曲率半径 494

252．例题 496

253．曲率中心的坐标 499

254．渐屈线及渐伸线的定义；渐屈线的求法 501

255．渐屈线及渐伸线的性质 503

256．渐伸线的求法 506

附录 函数扩充的问题 508

257．一元函数的情形 508

258．关于二维空间的问题 509

259．辅助命题 511

260．关于扩充的基本定理 514

261．推广到一般情况 515

262．总结 516

索引 519

校订后记 525