第一章 复数与复变函数 1
第一讲 复数的概念与运算 1
1.复数的概念 1
2.复数的代数运算 2
3.复数的几何表示 4
4.复球面 7
5.复数的乘幂与方根 9
思考题1-1 13
习题1-1 14
第二讲 区域与复变函数 16
1.区域的概念 16
2.平面曲线与连通域 17
3.复变函数 19
4.复变函数的极限与连续性 22
思考题1-2 26
习题2-2 26
第三讲 初等函数 27
2.对数函数 28
1.指数函数 28
3.幂函数 30
4.三角函数和双曲函数 32
5.反三角函数与反双曲函数 34
思考题1-3 35
习题1-3 36
复习题 37
第二章 解析函数 39
第一讲 解析函数概念 39
1.复变函数的导数与微分 39
2.解析函数的概念 41
3.函数解析的充要条件 43
4.初等函数的解析性 48
思考题2-1 49
习题2-1 49
第二讲 调和函数及其应用 51
1.解析函数与调和函数的关系 51
2.调和函数与平面向量场 54
3.调和函数的物理应用举例 57
思考题2-2 62
习题2-2 62
复习题 63
第三章 复变函数的积分 65
第一讲 复变函数的积分 65
一、复变函数积分的概念 65
1.复变函数积分的定义 65
2.复积分存在的条件 67
二、复积分的计算 68
1.复积分的计算 68
2.复积分的性质 70
思考题3-1 71
习题3-1 72
第二讲 柯西定理与柯西公式 73
一、解析函数的基本定理——柯西定理 73
1.柯西—古莎定理 73
2.复积分的牛顿—莱布尼兹公式 74
3.复合闭路定理 77
二、柯西积分公式 80
1.柯西积分公式 80
2.解析函数的高阶导数 82
思考题3-2 85
习题3-2 85
复习题 87
一、复数项级数及其敛散性 89
1.复数列的极限 89
第一讲 幂级数 89
第四章 级数 89
2.复数项级数的敛散性 90
二、幂级数 93
1.幂级数的概念 93
2.收敛圆与收敛半径 94
3.收敛半径的求法 96
4.幂级数的运算性质 98
习题4-1 100
思考题4-1 100
一、泰勒级数 101
第二讲 泰勒级数与罗伦级数 101
二、罗伦级数 106
思考题4-2 113
习题4-2 114
复习题 115
第一讲 留数 117
一、孤立奇点的概念 117
第五章 留数 117
1.可去奇点 118
2.极点 118
3.本性奇点 119
4.极点与零点的关系 119
5.函数在无穷远点邻域的性态 121
二、留数 123
1.留数的定义与留数定理 123
2.留数的计算 125
3.无穷远点的留数 128
思考题5-1 131
习题5-1 131
第二讲 留数的应用 133
一、三种形式的定积分计算 133
1.？R(cosθ，sinθ)dθ型积分 133
2.？R(x)dx型积分 135
3.？R(x)eiax dx型积分 136
1.电场内总电荷与功的计算 140
二、留数在力学上的应用举例 140
2.流速场的流量与环量的计算 141
3.机翼剖面的夏甫莱金升力公式 141
4.茹可夫斯基升力公式 142
思考题5-2 142
习题5-2 143
第三讲 对数留数与辐角原理 144
1.对数留数 144
2.辐角原理 145
3.路西定理 147
习题5-3 148
思考题5-3 148
复习题 149
第六章 保形映射 151
第一讲 保形映射和分式线性映射概念 151
一、保形映射的概念 151
1.解析函数导数的几何意义 151
2.保形映射的概念 153
1.分式线性映射的分解 154
二、分式线性映射及其性质 154
2.分式线性映射的性质 156
思考题6-1 159
习题6-1 159
第二讲 分式线性映射与初等函数的映射 160
一、唯一决定分式线性映射的条件 160
1.交比不变性 160
2.唯一决定分式线性映射的条件 161
3.分式线性映射的应用 162
1.将上半平面Imz＞0映为上半平面Imw＞0的分式线性映射 164
二、三个重要的分式线性映射 164
2.将上半平面Imz＞0映为单位圆内部｜w｜＜1的分式线性映射 165
3.将单位圆内部｜z｜＜1映为单位圆内部｜w｜＜1的分式线性映射 167
三、几个初等函数构成的映射 168
1.幂函数w=zn 168
2.指数函数ez 170
3.茹可夫斯基函数w=？(z+？) 171
习题6-2 173
思考题6-2 173
第三讲 保形映射的几个定理 176
一、几个一般性定理 176
二、多角形映射公式 179
习题6-3 181
复习题 182
总复习题 184
习题答案 191