第一章 数学的方法论基础 1
1 数学的对象及其特点 1
1．数学的方法 1
2．数学的对象 2
3．数学的特点 3
2 数学发展的主要阶段 5
1．引言 5
2．数学的起源 5
3．常量数学 7
4．变量数学 12
5．数学发展的现代时期 13
6．现代数学的特点及其发展前景 18
3 数学的认识论 22
1．数学和现实 22
2．现实的数学模型 22
3．作为数学模型的实例的数、形和集合的概念 24
4．同一性的抽象 27
5．理想化及其在数学中的作用 28
4 公理化方法 31
1．数学中的公理化方法 31
2．公理化的实例 32
3．数学中与公理化方法相联系的一般概念 34
4．形式化公理理论 38
5．公理学与数学结构 40
第二章 中小学数学中的集合论观点 45
1 “朴素”集合论和公理集合论 45
1．“朴素”集合论 45
2．集合论的策莫洛——弗兰克尔公理 47
2 结构与结构的类型 51
1．集合的笛卡尔积 51
2．集合的刻度 52
3．数学对象的集合论构造 54
4．结构的类型 57
5．结构类型的实例 59
3 中小学数学和集合论 61
1．中小学数学中的数集 61
2．点集 63
3．集合论在中小学数学中的作用 64
4．中小学数学中集合的包含关系 65
5．中小学数学中集合的运算 67
6．中小学数学中集合的笛卡尔积 69
4 中小学数学中的对应和关系 72
1．引言 72
2．基本概念 74
3．等价关系和分类 76
4．序关系 77
5．中小学数学中的基本对应和关系以及它们的性质 80
6．算术和代数中的等价关系 84
7．中小学数学中的等价类 84
8．等价关系和变换群 86
9．齐次空间和中小学数学 88
第三章 中小学数学里的映射和函数 90
1 映射和结构 90
1．基本概念 90
2．结构的态 92
3．不变的结构 94
4．中小学数学里研究的映射的基本形式 97
5．中小学数学里结构的态以及在映射上的运算 99
6．中小学数学里的拓扑空间和度量空间 100
7．中小学数学里的连续映射和同胚映射 102
2 数值函数 104
1．项和函数 104
2．表示函数的其他方法 106
3．中小学数学里的连续函数 109
4．初等函数集 111
5．指数函数和群（R;+）到群（R+;·）的同构映射 113
6．指数函数的性质 117
7．对于指数函数概念的其他处理方法 118
8．三角函数 121
9．三角函数和平面的旋转 123
10．三角函数与微分方程 125
3 有限集合的映射和组合分析 127
1．组合分析的基本法则 127
2．组合分析的基本公式 129
第四章 中小学数学的代数和算术基础 134
1 代数运算和代数 134
1．代数运算 134
2．逆运算 137
3．中小学数学的基本代数运算 140
4．代数 142
5．代数的若干种类 144
6．中小学数学里代数的基本类型 145
2 项及其变换 148
1．代数中的项 148
2．幂和倍数 149
3．单项式和可交换半群 151
4．有理式 153
3 代数的序，对称化 155
1．半群里的序关系 155
2．代数的对称化 156
3．半环的扩张 161
4 自然数 164
1．引言 164
2．皮亚诺公理 165
3．关于归纳法构造的基本定理 167
4．皮亚诺公理的绝对性 171
5．皮亚诺公理的无矛盾性 173
6．作为完全有序半环的自然数集合 175
7．有限集合和无限集合 176
8．建立在加法基础上的自然数集合的公理 181
5 正的数量值和正实数 183
1．正的数量值集合公理 183
2．正的数量值公理的无矛盾性 187
3．正的数量值公理的绝对性 189
4．正实数集R+ 190
第五章 中小学几何的若干问题 193
1 几何的向量构造 193
1．引言 193
2．韦尔公理 194
3．韦尔公理的其他变形 196
4．韦尔公理的无矛盾性和绝对性 198
5．框架和坐标 199
6．直线 202
7．射线 204
8．线段 205
9．平面 206
10．半平面 209
11．长度和角的测量 211
12．运动 213
13．点-向量仿射空间 217
14．韦尔公理和中小学几何 220
2 几何度量空间 222
1．按柯尔莫果洛夫理论建立欧几里得平面结构的逻辑图式 222
2．韦尔公理体系和柯尔莫果洛夫公理体系的联系 229
3 几何量的测量 231
1．量的一般定义 231
2．量的直接测量 233
3．Rk里体积的测量 234
4．曲线的长度 237
5．曲线长度的存在性 239
6．长度的唯一性 240
7．弧长的下半连续 241
8．曲面的面积 242
第六章 中小学数学的语言 244
1 名称、值、意义 244
1．名称 244
2．名称和意义 246
3．命题 248
4．常元和变元 249
5．式 251
2 中小学数学的基本符号 254
1．数学语言 254
2．数学符号 256
3．中小学数学的字母表 258
4．中小学代数的字母表 261
5．中小学几何字母表 263
6．数学分析原理的语言 264
7．中小学代数语言的结构 267
8．中小学代数语言的词义 271
9．公式 272
10．几何和分析原理中的项和公式 272
11．基本公式 274
第七章 中小学数学的逻辑 275
1 数学命题 275
1．中小学数学里的数学命题 275
2．逻辑等价和逻辑推断 277
3．全逻辑公式 279
2 定义 281
1．引言 281
2．名义上的定义和实际的定义 282
3．被定义的和定义的 283
4．正确的和不正确的定义 286
5．存在性和唯一性 287
6．描述法 289
7．公理化定义 290
8．古典定义 292
9．递归定义 293
3 证明 295
1．形式证明和内容证明 295
2．推断规则 298
3．间接证明 300
4．用数学归纳法证明 304
参考文献 306