中小学数学的现代基础PDF电子书下载

第一章 数学的方法论基础 1

1 数学的对象及其特点 1

1．数学的方法 1

2．数学的对象 2

3．数学的特点 3

2 数学发展的主要阶段 5

1．引言 5

2．数学的起源 5

3．常量数学 7

4．变量数学 12

5．数学发展的现代时期 13

6．现代数学的特点及其发展前景 18

3 数学的认识论 22

1．数学和现实 22

2．现实的数学模型 22

3．作为数学模型的实例的数、形和集合的概念 24

4．同一性的抽象 27

5．理想化及其在数学中的作用 28

4 公理化方法 31

1．数学中的公理化方法 31

2．公理化的实例 32

3．数学中与公理化方法相联系的一般概念 34

4．形式化公理理论 38

5．公理学与数学结构 40

第二章 中小学数学中的集合论观点 45

1 “朴素”集合论和公理集合论 45

1．“朴素”集合论 45

2．集合论的策莫洛——弗兰克尔公理 47

2 结构与结构的类型 51

1．集合的笛卡尔积 51

2．集合的刻度 52

3．数学对象的集合论构造 54

4．结构的类型 57

5．结构类型的实例 59

3 中小学数学和集合论 61

1．中小学数学中的数集 61

2．点集 63

3．集合论在中小学数学中的作用 64

4．中小学数学中集合的包含关系 65

5．中小学数学中集合的运算 67

6．中小学数学中集合的笛卡尔积 69

4 中小学数学中的对应和关系 72

1．引言 72

2．基本概念 74

3．等价关系和分类 76

4．序关系 77

5．中小学数学中的基本对应和关系以及它们的性质 80

6．算术和代数中的等价关系 84

7．中小学数学中的等价类 84

8．等价关系和变换群 86

9．齐次空间和中小学数学 88

第三章 中小学数学里的映射和函数 90

1 映射和结构 90

1．基本概念 90

2．结构的态 92

3．不变的结构 94

4．中小学数学里研究的映射的基本形式 97

5．中小学数学里结构的态以及在映射上的运算 99

6．中小学数学里的拓扑空间和度量空间 100

7．中小学数学里的连续映射和同胚映射 102

2 数值函数 104

1．项和函数 104

2．表示函数的其他方法 106

3．中小学数学里的连续函数 109

4．初等函数集 111

5．指数函数和群（R;+）到群（R+;·）的同构映射 113

6．指数函数的性质 117

7．对于指数函数概念的其他处理方法 118

8．三角函数 121

9．三角函数和平面的旋转 123

10．三角函数与微分方程 125

3 有限集合的映射和组合分析 127

1．组合分析的基本法则 127

2．组合分析的基本公式 129

第四章 中小学数学的代数和算术基础 134

1 代数运算和代数 134

1．代数运算 134

2．逆运算 137

3．中小学数学的基本代数运算 140

4．代数 142

5．代数的若干种类 144

6．中小学数学里代数的基本类型 145

2 项及其变换 148

1．代数中的项 148

2．幂和倍数 149

3．单项式和可交换半群 151

4．有理式 153

3 代数的序，对称化 155

1．半群里的序关系 155

2．代数的对称化 156

3．半环的扩张 161

4 自然数 164

1．引言 164

2．皮亚诺公理 165

3．关于归纳法构造的基本定理 167

4．皮亚诺公理的绝对性 171

5．皮亚诺公理的无矛盾性 173

6．作为完全有序半环的自然数集合 175

7．有限集合和无限集合 176

8．建立在加法基础上的自然数集合的公理 181

5 正的数量值和正实数 183

1．正的数量值集合公理 183

2．正的数量值公理的无矛盾性 187

3．正的数量值公理的绝对性 189

4．正实数集R+ 190

第五章 中小学几何的若干问题 193

1 几何的向量构造 193

1．引言 193

2．韦尔公理 194

3．韦尔公理的其他变形 196

4．韦尔公理的无矛盾性和绝对性 198

5．框架和坐标 199

6．直线 202

7．射线 204

8．线段 205

9．平面 206

10．半平面 209

11．长度和角的测量 211

12．运动 213

13．点-向量仿射空间 217

14．韦尔公理和中小学几何 220

2 几何度量空间 222

1．按柯尔莫果洛夫理论建立欧几里得平面结构的逻辑图式 222

2．韦尔公理体系和柯尔莫果洛夫公理体系的联系 229

3 几何量的测量 231

1．量的一般定义 231

2．量的直接测量 233

3．Rk里体积的测量 234

4．曲线的长度 237

5．曲线长度的存在性 239

6．长度的唯一性 240

7．弧长的下半连续 241

8．曲面的面积 242

第六章 中小学数学的语言 244

1 名称、值、意义 244

1．名称 244

2．名称和意义 246

3．命题 248

4．常元和变元 249

5．式 251

2 中小学数学的基本符号 254

1．数学语言 254

2．数学符号 256

3．中小学数学的字母表 258

4．中小学代数的字母表 261

5．中小学几何字母表 263

6．数学分析原理的语言 264

7．中小学代数语言的结构 267

8．中小学代数语言的词义 271

9．公式 272

10．几何和分析原理中的项和公式 272

11．基本公式 274

第七章 中小学数学的逻辑 275

1 数学命题 275

1．中小学数学里的数学命题 275

2．逻辑等价和逻辑推断 277

3．全逻辑公式 279

2 定义 281

1．引言 281

2．名义上的定义和实际的定义 282

3．被定义的和定义的 283

4．正确的和不正确的定义 286

5．存在性和唯一性 287

6．描述法 289

7．公理化定义 290

8．古典定义 292

9．递归定义 293

3 证明 295

1．形式证明和内容证明 295

2．推断规则 298

3．间接证明 300

4．用数学归纳法证明 304

参考文献 306