第一章 绪论 1
1 数值分析的对象与特点 1
2 误差的基本概念 1
2-1 误差的来源 1
2-2 误差限 3
3 有效数与机器数系 4
3-1 有效数 4
3-2 机器数系 6
3-3 机器数系的运算及误差估计 8
4 数值稳定问题 12
4-1 数据误差的影响与条件数 12
4-2 算法的数值稳定性 18
习题一 23
第二章 非线性方程的解法 27
1 概述 27
1-1 根的搜索 27
1-2 二分法 28
1-3 迭代法概述 30
2 简单迭代法 32
2-1 方法介绍 32
2-2 迭代法的收敛性 33
2-3 高阶迭代 38
2-4 埃特金加速法 39
3-1 求单根的牛顿法 41
3 牛顿切线法 41
3-2 牛顿法的变形 45
3-3 重根的处理 47
4 多项式方程的求根 51
4-1 实系数多项式零点的分布 52
4-2 劈因子法 56
5 应用实例(薄壳结构的静力计算) 61
5-1 问题的背景 61
5-2 薄壳的基本方程式 62
5-3 计算方法 64
5-4 计算过程和结果 65
习题二 66
1 引言 69
第三章 线性代数方程组数值解法 69
2 消去法 71
2-1 三角方程组的解法 71
2-2 Gauss消去法 72
2-3 选主元的Gauss消去法 83
3 矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用 88
3-1 矩阵的直接分解 88
3-2 Cholesky分解法 97
3-3 追赶法 102
4 方程组的性态与误差分析 105
4-1 向量范数和矩阵范数 106
4-2 方程组的性态、条件数 114
4-3 误差分析 119
5 迭代法 121
5-1 Jacobi迭代法 125
5-2 Gauss-Seidel迭代法 128
5-3 迭代法的收敛性 130
5-4 逐次超松弛迭代法 143
6 应用实例(纯电阻型立体电路分析) 147
6-1 问题的背景 147
6-2 数学模型 148
6-3 计算方法与结果分析 149
习题三 152
第四章 插值与逼近 162
1 多项式插值 164
1-1 Lagrange插值 165
1-2 Newton差商型插值 167
2 等距节点多项式插值 174
3 重节点多项式插值 177
3-1 Newton型Hermite插值 178
3-2 Lagrange型Hermite插值 183
4 分段插值与样条插值 188
4-1 分段低次插值 188
4-2 样条插值 190
5 有理函数插值 199
6 最佳一致逼近 207
7 最佳平方逼近 217
8 正交多项式 226
8-1 正交多项式的定义与性质 227
8-2 近似最佳一致逼近 236
9 周期函数的逼近与快速Fourier变换 242
9-1 周期函数的最佳平方逼近 242
9-2 复值周期函数的最佳平方逼近 245
9-3 快速Fourier变换(FFT) 250
10 应用实例(用样条函数设计公路平面曲线) 256
10-1 问题的背景 256
10-2 数学模型 256
10-3 计算方法与结果分析 257
习题四 262
1 数值积分的基本概念 267
第五章 数值积分与数值微分 267
1-1 构造数值求积公式的基本思想 268
1-2 插值型求积公式 268
1-3 插值型求积公式的截断误差 271
1-4 代数精度 272
2 等距节点求积公式 275
2-1 Newton-Cotes公式 275
2-2 复化求积法及其收敛性 282
2-3 步长的自适应 287
3 Romberg求积法 289
3-1 Romberg求积公式 290
3-2 Romberg求积法的一般公式 294
4 Gauss型求积公式 296
4-1 Gauss点与正交多项式的关系 297
4-2 Gauss-Legend re公式 300
4-3 Gauss公式的余项 303
4-4 Gauss公式的稳定性与收敛性 304
4-5 其它的Gauss型求积公式 307
5 振荡函数的积分 309
6 重积分的近似计算 314
7 数值微分 321
7-1 数值微分问题的提出 321
7-2 插值型求导公式 322
7-3 样条求导 326
8-1 问题的背景 328
8 应用实例(混频器中变频损耗的数值计算) 328
8-2 数学模型 330
8-3 计算方法与结果分析 331
习题五 333
第六章 常微分方程数值解法 337
1 微分方程数值解法概述 337
1-1 问题及基本假定 337
1-2 离散化方法 338
1-3 构造求解公式的途径 339
2 Euler方法 346
2-1 公式的推导 346
2-2 公式的使用 349
3-1 公式的推导 353
3 Runge-Kutta方法 353
3-2 高阶Runge-Kutta方法 355
3-3 公式的使用 359
3-4 隐式R-K方法 366
4 单步法的收敛性与稳定性 367
4-1 单步法的收敛性 368
4-2 单步法的稳定性 372
5 线性多步方法 375
5-1 基于数值积分的构造方法 375
5-2 Adams公式的使用 382
5-3 基于Taylor展开的构造方法 390
5-4 Milne、Simpson和Hamming公式的使用 393
6-1 一阶微分方程组 394
6 微分方程组与高阶微分方程 394
6-2 刚性问题 397
6-3 高阶微分方程 399
7 边值问题的数值解法 402
7-1 试射法 402
7-2 差分法 405
8 应用实例(磁流体发电通道的数值计算) 407
8-1 问题的背景 407
8-2 数学模型 408
8-3 计算方法与结果分析 410
习题六 412
1 引言 416
第七章 矩阵特征值的计算 416
2-1 求主特征值的乘幂法 419
2 幂法及反幂法 419
2-2 幂法的加速技巧 427
2-3 反幂法 431
3 实对称矩阵的Jacobi法 433
3-1 Jacobi法 435
3-2 Jacobi法的变形 442
4 Givens法和Housholder法 443
4-1 把实对称矩阵约化为三对角阵 444
4-2 Sturm序列与二分法 449
5-1 基本算法 452
5 QR算法 452
5-2 具有位移的QR算法 454
6 矩阵广义特征值的计算 456
6-1 直接约化法 456
6-2 行列式查找法 458
习题七 459
第八章 偏微分方程的数值解法 463
1 抛物型方程的差分解法 463
1-1 古典显格式与古典隐格式 465
1-2 Richa rdson格式 468
1-3 加权六点格式 470
2-1 差分格式的相容性与收敛性 476
2 差分格式的稳定性与收敛性 476
2-2 差分格式的稳定性概念 477
2-3 判别稳定性的Von-Neuman方法 480
3 双曲型方程的差分解法 486
3-1 双曲型方程解的特性 486
3-2 一阶线性双曲型方程的差分格式 488
3-3 二阶双曲型方程的差分格式 495
4 变分原理 499
4-1 初等变分思想 499
4-2 常微分方程边值问题的变分原理 503
4-2 椭圆型方程边值问题的变分原理 507
5-1 区间剖分及基函数的选取 511
5 常微分方程边值问题的有限元法 511
5-2 有限元方程的形成 513
5-3 有限元解法的步骤及例子 518
6 Poisson方程的有限元法 520
6-1 三角形剖分及基函数的构造 520
6-2 有限元方程的形成 524
6-3 有限元解法的步骤与例子 527
7 应用实例(水污染方程的有限差分解法) 531
7-1 问题的背景 531
7-2 数学模型 531
7-3 计算方法与结果分析 532
习题八 533
参考文献 539