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第一章 绪论 1

1 数值分析的对象与特点 1

2 误差的基本概念 1

2-1 误差的来源 1

2-2 误差限 3

3 有效数与机器数系 4

3-1 有效数 4

3-2 机器数系 6

3-3 机器数系的运算及误差估计 8

4 数值稳定问题 12

4-1 数据误差的影响与条件数 12

4-2 算法的数值稳定性 18

习题一 23

第二章 非线性方程的解法 27

1 概述 27

1-1 根的搜索 27

1-2 二分法 28

1-3 迭代法概述 30

2 简单迭代法 32

2-1 方法介绍 32

2-2 迭代法的收敛性 33

2-3 高阶迭代 38

2-4 埃特金加速法 39

3-1 求单根的牛顿法 41

3 牛顿切线法 41

3-2 牛顿法的变形 45

3-3 重根的处理 47

4 多项式方程的求根 51

4-1 实系数多项式零点的分布 52

4-2 劈因子法 56

5 应用实例(薄壳结构的静力计算) 61

5-1 问题的背景 61

5-2 薄壳的基本方程式 62

5-3 计算方法 64

5-4 计算过程和结果 65

习题二 66

1 引言 69

第三章 线性代数方程组数值解法 69

2 消去法 71

2-1 三角方程组的解法 71

2-2 Gauss消去法 72

2-3 选主元的Gauss消去法 83

3 矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用 88

3-1 矩阵的直接分解 88

3-2 Cholesky分解法 97

3-3 追赶法 102

4 方程组的性态与误差分析 105

4-1 向量范数和矩阵范数 106

4-2 方程组的性态、条件数 114

4-3 误差分析 119

5 迭代法 121

5-1 Jacobi迭代法 125

5-2 Gauss-Seidel迭代法 128

5-3 迭代法的收敛性 130

5-4 逐次超松弛迭代法 143

6 应用实例(纯电阻型立体电路分析) 147

6-1 问题的背景 147

6-2 数学模型 148

6-3 计算方法与结果分析 149

习题三 152

第四章 插值与逼近 162

1 多项式插值 164

1-1 Lagrange插值 165

1-2 Newton差商型插值 167

2 等距节点多项式插值 174

3 重节点多项式插值 177

3-1 Newton型Hermite插值 178

3-2 Lagrange型Hermite插值 183

4 分段插值与样条插值 188

4-1 分段低次插值 188

4-2 样条插值 190

5 有理函数插值 199

6 最佳一致逼近 207

7 最佳平方逼近 217

8 正交多项式 226

8-1 正交多项式的定义与性质 227

8-2 近似最佳一致逼近 236

9 周期函数的逼近与快速Fourier变换 242

9-1 周期函数的最佳平方逼近 242

9-2 复值周期函数的最佳平方逼近 245

9-3 快速Fourier变换(FFT) 250

10 应用实例(用样条函数设计公路平面曲线) 256

10-1 问题的背景 256

10-2 数学模型 256

10-3 计算方法与结果分析 257

习题四 262

1 数值积分的基本概念 267

第五章 数值积分与数值微分 267

1-1 构造数值求积公式的基本思想 268

1-2 插值型求积公式 268

1-3 插值型求积公式的截断误差 271

1-4 代数精度 272

2 等距节点求积公式 275

2-1 Newton-Cotes公式 275

2-2 复化求积法及其收敛性 282

2-3 步长的自适应 287

3 Romberg求积法 289

3-1 Romberg求积公式 290

3-2 Romberg求积法的一般公式 294

4 Gauss型求积公式 296

4-1 Gauss点与正交多项式的关系 297

4-2 Gauss-Legend re公式 300

4-3 Gauss公式的余项 303

4-4 Gauss公式的稳定性与收敛性 304

4-5 其它的Gauss型求积公式 307

5 振荡函数的积分 309

6 重积分的近似计算 314

7 数值微分 321

7-1 数值微分问题的提出 321

7-2 插值型求导公式 322

7-3 样条求导 326

8-1 问题的背景 328

8 应用实例(混频器中变频损耗的数值计算) 328

8-2 数学模型 330

8-3 计算方法与结果分析 331

习题五 333

第六章 常微分方程数值解法 337

1 微分方程数值解法概述 337

1-1 问题及基本假定 337

1-2 离散化方法 338

1-3 构造求解公式的途径 339

2 Euler方法 346

2-1 公式的推导 346

2-2 公式的使用 349

3-1 公式的推导 353

3 Runge-Kutta方法 353

3-2 高阶Runge-Kutta方法 355

3-3 公式的使用 359

3-4 隐式R-K方法 366

4 单步法的收敛性与稳定性 367

4-1 单步法的收敛性 368

4-2 单步法的稳定性 372

5 线性多步方法 375

5-1 基于数值积分的构造方法 375

5-2 Adams公式的使用 382

5-3 基于Taylor展开的构造方法 390

5-4 Milne、Simpson和Hamming公式的使用 393

6-1 一阶微分方程组 394

6 微分方程组与高阶微分方程 394

6-2 刚性问题 397

6-3 高阶微分方程 399

7 边值问题的数值解法 402

7-1 试射法 402

7-2 差分法 405

8 应用实例(磁流体发电通道的数值计算) 407

8-1 问题的背景 407

8-2 数学模型 408

8-3 计算方法与结果分析 410

习题六 412

1 引言 416

第七章 矩阵特征值的计算 416

2-1 求主特征值的乘幂法 419

2 幂法及反幂法 419

2-2 幂法的加速技巧 427

2-3 反幂法 431

3 实对称矩阵的Jacobi法 433

3-1 Jacobi法 435

3-2 Jacobi法的变形 442

4 Givens法和Housholder法 443

4-1 把实对称矩阵约化为三对角阵 444

4-2 Sturm序列与二分法 449

5-1 基本算法 452

5 QR算法 452

5-2 具有位移的QR算法 454

6 矩阵广义特征值的计算 456

6-1 直接约化法 456

6-2 行列式查找法 458

习题七 459

第八章 偏微分方程的数值解法 463

1 抛物型方程的差分解法 463

1-1 古典显格式与古典隐格式 465

1-2 Richa rdson格式 468

1-3 加权六点格式 470

2-1 差分格式的相容性与收敛性 476

2 差分格式的稳定性与收敛性 476

2-2 差分格式的稳定性概念 477

2-3 判别稳定性的Von-Neuman方法 480

3 双曲型方程的差分解法 486

3-1 双曲型方程解的特性 486

3-2 一阶线性双曲型方程的差分格式 488

3-3 二阶双曲型方程的差分格式 495

4 变分原理 499

4-1 初等变分思想 499

4-2 常微分方程边值问题的变分原理 503

4-2 椭圆型方程边值问题的变分原理 507

5-1 区间剖分及基函数的选取 511

5 常微分方程边值问题的有限元法 511

5-2 有限元方程的形成 513

5-3 有限元解法的步骤及例子 518

6 Poisson方程的有限元法 520

6-1 三角形剖分及基函数的构造 520

6-2 有限元方程的形成 524

6-3 有限元解法的步骤与例子 527

7 应用实例(水污染方程的有限差分解法) 531

7-1 问题的背景 531

7-2 数学模型 531

7-3 计算方法与结果分析 532

习题八 533

参考文献 539