第一章 集合与映射 1
1 集合 2
集合 2
集合运算 4
有限集与无限集 6
Descartes乘积集合 8
习题 9
2 映射与函数 10
映射 10
一元实函数 14
初等函数 15
函数的分段表示、隐式表示与参数表示 16
函数的简单特性 19
两个常用不等式 21
习题 23
第二章 数列极限 25
1 实数系的连续性 25
实数系 25
最大数与最小数 26
上确界与下确界 27
附录 Dedekind切割定理 30
习题 32
2 数列极限 33
数列与数列极限 33
数列极限的性质 38
数列极限的四则运算 42
习题 44
3 无穷大量 46
无穷大量 46
待定型 48
习题 51
4 收敛准则 52
单调有界数列收敛定理 52
π和e 56
闭区间套定理 60
子列 62
Bolzano-Weierstrass定理 63
Cauchy收敛原理 64
实数系的基本定理 66
习题 68
第三章 函数极限与连续函数 71
1 函数极限 71
函数极限的定义 71
函数极限的性质 74
函数极限的四则运算 77
函数极限与数列极限的关系 78
单侧极限 80
函数极限定义的扩充 81
习题 86
2 连续函数 88
连续函数的定义 88
连续函数的四则运算 91
不连续点类型 92
反函数连续性定理 94
复合函数的连续性 96
习题 99
3 无穷小量与无穷大量的阶 100
无穷小量的比较 100
无穷大量的比较 103
等价量 104
习题 108
4 闭区间上的连续函数 109
有界性定理 109
最值定理 110
零点存在定理 111
中间值定理 112
一致连续概念 112
习题 117
第四章 微分 119
1 微分和导数 119
微分概念的导出背景 119
微分的定义 120
微分和导数 122
习题 123
2 导数的意义和性质 123
产生导数的实际背景 123
导数的几何意义 125
单侧导数 129
习题 131
3 导数四则运算和反函数求导法则 132
从定义出发求导函数 132
求导的四则运算法则 134
反函数求导法则 137
习题 141
4 复合函数求导法则及其应用 142
复合函数求导法则 142
一阶微分的形式不变性 146
隐函数求导与求微分 146
复合函数求导法则的其他应用 148
习题 151
5 高阶导数和高阶微分 153
高阶导数的实际背景及定义 153
高阶导数的运算法则 156
高阶微分 161
习题 163
第五章 微分中值定理及其应用 166
1 微分中值定理 166
函数极值与Fermat引理 166
Rolle定理 168
Lagrange中值定理 169
用Lagrange中值定理讨论函数性质 171
Cauchy中值定理 179
习题 181
2 L’Hospital法则 184
待定型极限和L’Hospital法则 184
可化为？型或？型的极限 188
习题 191
3 Taylor公式和插值多项式 192
带Peano余项的Taylor公式 192
带Lagrange余项的Taylor公式 194
插值多项式和余项 195
Lagrange插值多项式和Taylor公式 198
习题 201
4 函数的Taylor公式及其应用 202
函数在x=0处的Taylor公式 202
Taylor公式的应用 207
习题 216
5 应用举例 218
极值问题 218
最值问题 220
数学建模 223
函数作图 225
习题 230
6 方程的近似求解 232
解析方法和数值方法 232
二分法 233
Newton迭代法 234
计算实习题 239
第六章 不定积分 241
1 不定积分的概念和运算法则 241
微分的逆运算——不定积分 241
不定积分的线性性质 243
习题 246
2 换元积分法和分部积分法 247
换元积分法 247
分部积分法 252
基本积分表 256
习题 259
3 有理函数的不定积分及其应用 262
有理函数的不定积分 262
可化成有理函数不定积分的情况 266
习题 269
第七章 定积分 272
1 定积分的概念和可积条件 272
定积分概念的导出背景 272
定积分的定义 275
Darboux和 277
Riemann可积的充分必要条件 280
习题 285
2 定积分的基本性质 286
习题 293
3 微积分基本定理 294
从实例看微分与积分的联系 294
微积分基本定理——Newton-Leibniz公式 296
定积分的分部积分法和换元积分法 300
习题 310
4 定积分在几何计算中的应用 313
求平面图形的面积 313
求曲线的弧长 318
求某些特殊的几何体的体积 322
求旋转曲面的面积 324
曲线的曲率 326
习题 329
附录 常用几何曲线图示 333
5 微积分实际应用举例 336
微元法 336
由静态分布求总量 337
求动态效应 339
简单数学模型和求解 340
从Kepler行星运动定律到万有引力定律 343
习题 345
6 定积分的数值计算 346
数值积分 346
Newton-Cotes求积公式 347
复化求积公式 350
Gauss型求积公式 352
计算实习题 355
第八章 反常积分 357
1 反常积分的概念和计算 357
反常积分 357
反常积分计算 363
习题 367
计算实习题 369
2 反常积分的收敛判别法 370
反常积分的Cauchy收敛原理 370
非负函数反常积分的收敛判别法 371
一般函数反常积分的收敛判别法 373
无界函数反常积分的收敛判别法 376
习题 379
答案与提示 382
索引 416