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第一章 集合与映射 1

1 集合 2

集合 2

集合运算 4

有限集与无限集 6

Descartes乘积集合 8

习题 9

2 映射与函数 10

映射 10

一元实函数 14

初等函数 15

函数的分段表示、隐式表示与参数表示 16

函数的简单特性 19

两个常用不等式 21

习题 23

第二章 数列极限 25

1 实数系的连续性 25

实数系 25

最大数与最小数 26

上确界与下确界 27

附录 Dedekind切割定理 30

习题 32

2 数列极限 33

数列与数列极限 33

数列极限的性质 38

数列极限的四则运算 42

习题 44

3 无穷大量 46

无穷大量 46

待定型 48

习题 51

4 收敛准则 52

单调有界数列收敛定理 52

π和e 56

闭区间套定理 60

子列 62

Bolzano-Weierstrass定理 63

Cauchy收敛原理 64

实数系的基本定理 66

习题 68

第三章 函数极限与连续函数 71

1 函数极限 71

函数极限的定义 71

函数极限的性质 74

函数极限的四则运算 77

函数极限与数列极限的关系 78

单侧极限 80

函数极限定义的扩充 81

习题 86

2 连续函数 88

连续函数的定义 88

连续函数的四则运算 91

不连续点类型 92

反函数连续性定理 94

复合函数的连续性 96

习题 99

3 无穷小量与无穷大量的阶 100

无穷小量的比较 100

无穷大量的比较 103

等价量 104

习题 108

4 闭区间上的连续函数 109

有界性定理 109

最值定理 110

零点存在定理 111

中间值定理 112

一致连续概念 112

习题 117

第四章 微分 119

1 微分和导数 119

微分概念的导出背景 119

微分的定义 120

微分和导数 122

习题 123

2 导数的意义和性质 123

产生导数的实际背景 123

导数的几何意义 125

单侧导数 129

习题 131

3 导数四则运算和反函数求导法则 132

从定义出发求导函数 132

求导的四则运算法则 134

反函数求导法则 137

习题 141

4 复合函数求导法则及其应用 142

复合函数求导法则 142

一阶微分的形式不变性 146

隐函数求导与求微分 146

复合函数求导法则的其他应用 148

习题 151

5 高阶导数和高阶微分 153

高阶导数的实际背景及定义 153

高阶导数的运算法则 156

高阶微分 161

习题 163

第五章 微分中值定理及其应用 166

1 微分中值定理 166

函数极值与Fermat引理 166

Rolle定理 168

Lagrange中值定理 169

用Lagrange中值定理讨论函数性质 171

Cauchy中值定理 179

习题 181

2 L’Hospital法则 184

待定型极限和L’Hospital法则 184

可化为？型或？型的极限 188

习题 191

3 Taylor公式和插值多项式 192

带Peano余项的Taylor公式 192

带Lagrange余项的Taylor公式 194

插值多项式和余项 195

Lagrange插值多项式和Taylor公式 198

习题 201

4 函数的Taylor公式及其应用 202

函数在x=0处的Taylor公式 202

Taylor公式的应用 207

习题 216

5 应用举例 218

极值问题 218

最值问题 220

数学建模 223

函数作图 225

习题 230

6 方程的近似求解 232

解析方法和数值方法 232

二分法 233

Newton迭代法 234

计算实习题 239

第六章 不定积分 241

1 不定积分的概念和运算法则 241

微分的逆运算——不定积分 241

不定积分的线性性质 243

习题 246

2 换元积分法和分部积分法 247

换元积分法 247

分部积分法 252

基本积分表 256

习题 259

3 有理函数的不定积分及其应用 262

有理函数的不定积分 262

可化成有理函数不定积分的情况 266

习题 269

第七章 定积分 272

1 定积分的概念和可积条件 272

定积分概念的导出背景 272

定积分的定义 275

Darboux和 277

Riemann可积的充分必要条件 280

习题 285

2 定积分的基本性质 286

习题 293

3 微积分基本定理 294

从实例看微分与积分的联系 294

微积分基本定理——Newton-Leibniz公式 296

定积分的分部积分法和换元积分法 300

习题 310

4 定积分在几何计算中的应用 313

求平面图形的面积 313

求曲线的弧长 318

求某些特殊的几何体的体积 322

求旋转曲面的面积 324

曲线的曲率 326

习题 329

附录 常用几何曲线图示 333

5 微积分实际应用举例 336

微元法 336

由静态分布求总量 337

求动态效应 339

简单数学模型和求解 340

从Kepler行星运动定律到万有引力定律 343

习题 345

6 定积分的数值计算 346

数值积分 346

Newton-Cotes求积公式 347

复化求积公式 350

Gauss型求积公式 352

计算实习题 355

第八章 反常积分 357

1 反常积分的概念和计算 357

反常积分 357

反常积分计算 363

习题 367

计算实习题 369

2 反常积分的收敛判别法 370

反常积分的Cauchy收敛原理 370

非负函数反常积分的收敛判别法 371

一般函数反常积分的收敛判别法 373

无界函数反常积分的收敛判别法 376

习题 379

答案与提示 382

索引 416