第3篇 多元函数的微积分 1
第10章 多元函数微分学 1
10.1 关于Rn的简单知识 1
习题10.1 6
10.2 多元函数的极限 6
10.2.1 多元函数的概念 6
10.2.2 二元函数的极限——二重极限 8
10.2.3 二元函数的连续性 11
习题10.2 12
10.3 偏导数 13
习题10.3 19
10.4 方向导数、梯度 20
10.5 全微分 24
10.5.1 全微分 24
10.5.2 全微分用于近似计算 29
10.5.3 全微分的几何意义 30
习题10.5 31
10.6 多元复合函数的求导法则 33
习题10.6 39
10.7 隐函数的求导、隐函数存在定理 40
10.7.1 函数方程的情形 40
10.7.2 函数方程组的情形 43
习题10.7 50
10.8 偏导数的几何应用 51
10.8.1 空间曲线的切线与法平面 51
10.8.2 曲面的切平面与法线 52
10.8.3 曲线、曲面表成其它形式的情形 54
习题10.8 56
10.9 多元函数的Taylor公式 57
习题10.9 61
10.10 多元函数的极值 61
10.10.1 局部极值 61
10.10.2 条件极值 66
习题10.10 74
第11章 重积分 77
11.1 二重积分 77
11.1.1 曲顶柱体的体积 77
11.1.2 二重积分的概念 78
11.1.3 二重积分的性质 79
习题11.1 81
11.2 二重积分化为累次积分 81
习题11.2 88
11.3 二重积分的换元公式 88
习题11.3 96
11.4 三重积分 96
习题11.4 104
11.5 重积分的应用 105
11.5.1 曲面面积，面积微分公式 105
11.5.2 重心 108
11.5.3 转动惯量 109
11.5.4 引力 111
习题11.5 112
11.6 含参变量积分 113
习题11.6 118
11.7 n重积分 118
11.8 广义重积分 122
第12章 曲线积分与曲面积分 124
12.1 第一型曲线积分 124
12.1.1 物理背景——曲线构件的质量 124
12.1.2 第一型曲线积分的定义 124
12.1.3 第一型曲线积分的计算 125
习题12.1 130
12.2 第二型曲线积分 130
12.2.1 物理背景——功的计算 130
12.2.2 第二型曲线积分的定义 131
12.2.3 第二型曲线积分的计算 132
12.2.4 例子 134
12.2.5 两种类型曲线积分的关系 136
习题12.2 138
12.3 Green公式 138
习题12.3 145
12.4 平面情形与路径无关的曲线积分、全微分方程的解法 146
12.4.1 曲线积分与路径无关的条件 146
习题12.4（1） 150
12.4.2 全微分方程的解法 151
12.4.3 积分因子 153
习题12.4（2） 157
12.5 第一型曲面积分 158
习题12.5 162
12.6 第二型曲面积分 163
习题12.6 169
12.7 Gauss公式 169
习题12.7 175
12.8 Stokes公式 176
习题12.8 184
第13章 场论初步 185
13.1 数量场（scalar field）与向量场（vector field） 185
13.2 梯度（gradient）、散度（divergence）、旋度（curl、rotation） 185
13.2.1 数量场f的梯度 185
13.2.2 向量场的散度 187
13.2.3 向量场的旋度 188
13.3 正交曲线坐标系中场算子的计算 189
13.3.1 正交曲线坐标系 189
13.3.2 梯度的计算 193
13.3.3 散度的计算 194
13.3.4 旋度的计算 195
13.4 二阶表达式 197
13.4.1 grad div？ 197
13.4.2 div gradf 197
13.4.3 div rot？ 198
13.4.4 rot gradf 198
13.4.5 rot rot？ 198
13.5 数量势与向量势 199
13.6 应用 204
13.6.1 Newton万有引力场 204
13.6.2 Coulomb静电场 205
13.6.3 不可压缩理想流体运动的Euler方程组 206
习题13.6 210
第4篇 常微分方程初步 212
第14章 二阶线性常微分方程 212
14.1 二阶线性微分方程 212
习题14.1 220
14.2 二阶常系数线性微分方程 221
14.2.1 齐次情形 221
习题14.2（1） 226
14.2.2 非齐次情形 227
14.2.3 Euler方程 233
习题14.2（2） 234
14.2.4 高阶常系数线性微分方程 235
习题14.2（3） 237
14.3 常系数线性微分方程组 237
14.3.1 消去法——转化为高阶方程 238
14.3.2 矩阵方法 239
习题14.3 242
14.4 线性微分方程的幂级数解法 243
14.4.1 正常情形 243
14.4.2 奇异情形 247
习题14.4 254
14.5 解一阶微分方程Cauchy问题的数值方法——Euler折线法 255
14.5.1 Euler折线法 255
14.5.2 Euler方法的误差估计 257
习题14.5 261
14.6 应用举例 262
第15章 Fourier级数 271
15.1 引言 271
习题15.1 272
15.2 Fourier级数 273
习题15.2 283
15.3 正弦展开与余弦展开 284
习题15.3 287
15.4 有限区间上函数的Fourier级数 287
习题15.4 291
第5篇 高等微积分 293
第16章 实数的完备性与极限理论的完成 293
16.1 实数系统 293
16.1.1 算术运算 293
16.1.2 序关系 293
16.1.3 完备性 293
习题16.1 294
16.2 实数完备性的等价表述 295
16.2.1 确界存在定理 295
16.2.2 单调有界原理 297
16.2.3 闭区间套定理 300
16.2.4 Cantor的实数完备性 301
习题16.2 306
16.3 极限理论的完成——极限存在的Cauchy准则 307
习题16.3 311
16.4 上、下极限 311
习题16.4 313
第17章 连续函数 314
17.1 连续与间断 314
习题17.1 315
17.2 连续函数的重要性质 316
习题17.2 319
17.3 一致连续性 320
习题17.3 324
第18章 可积函数 325
18.1 Darboux和数 325
习题18.1 327
18.2 可积性准则 328
习题18.2 331
18.3 可积函数 332
习题18.3 337
第19章 一致收敛性 339
19.1 一致收敛的概念 339
习题19.1 343
19.2 一致收敛的函数序列与函数级数所具有的性质 344
习题19.2 346
19.3 一致收敛的判别 347
习题19.3 352
19.4 对幂级数的应用 353
习题19.4 356
19.5 应用（1）——连续函数空间C［a,b］ 356
习题19.5 363
19.6 应用（2）——一阶常微分方程Cauchy问题解的存在惟一性 364
习题19.6 369
19.7 应用（3）——隐函数存在定理 370
习题19.7 375
19.8 连续变化过程中的一致收敛 375
习题19.8 380
第20章 Fourier分析基本知识 381
20.1 Fourier级数的点点收敛 381
20.1.1 Fourier级数部分和的Dirichlet积分表示 381
20.1.2 Dirichlet核的某些性质 382
20.1.3 Riemann-Lebesgue引理 385
20.1.4 Riemann局部性定理 387
20.1.5 Dirichlet判别法 390
习题20.1 392
20.2 Fourier级数的一致收敛 393
20.2.1 函数Fourier系数的极值性质 393
20.2.2 Fourier级数的一致收敛 395
20.2.3 函数光滑的程度与Fourier级数收敛速度的关系 397
20.3 Gibbs现象 398
20.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分 401
20.4.1 逐项积分 401
20.4.2 函数的三角级数展开与Fourier级数的关系 402
20.4.3 逐项微分 403
习题20.4 404
20.5 Fourier级数的平均收敛 406
20.5.1 Weierstrass第二逼近定理 407
20.5.2 平均收敛的概念 408
20.5.3 Fourier级数的平均收敛 408
习题20.5 410
20.6 Fourier级数的复数形式与Fourier变换 410
20.6.1 有限Fourier变换 411
20.6.2 Fourier变换的概念 413
参考书目 415