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第3篇 多元函数的微积分 1

第10章 多元函数微分学 1

10.1 关于Rn的简单知识 1

习题10.1 6

10.2 多元函数的极限 6

10.2.1 多元函数的概念 6

10.2.2 二元函数的极限——二重极限 8

10.2.3 二元函数的连续性 11

习题10.2 12

10.3 偏导数 13

习题10.3 19

10.4 方向导数、梯度 20

10.5 全微分 24

10.5.1 全微分 24

10.5.2 全微分用于近似计算 29

10.5.3 全微分的几何意义 30

习题10.5 31

10.6 多元复合函数的求导法则 33

习题10.6 39

10.7 隐函数的求导、隐函数存在定理 40

10.7.1 函数方程的情形 40

10.7.2 函数方程组的情形 43

习题10.7 50

10.8 偏导数的几何应用 51

10.8.1 空间曲线的切线与法平面 51

10.8.2 曲面的切平面与法线 52

10.8.3 曲线、曲面表成其它形式的情形 54

习题10.8 56

10.9 多元函数的Taylor公式 57

习题10.9 61

10.10 多元函数的极值 61

10.10.1 局部极值 61

10.10.2 条件极值 66

习题10.10 74

第11章 重积分 77

11.1 二重积分 77

11.1.1 曲顶柱体的体积 77

11.1.2 二重积分的概念 78

11.1.3 二重积分的性质 79

习题11.1 81

11.2 二重积分化为累次积分 81

习题11.2 88

11.3 二重积分的换元公式 88

习题11.3 96

11.4 三重积分 96

习题11.4 104

11.5 重积分的应用 105

11.5.1 曲面面积，面积微分公式 105

11.5.2 重心 108

11.5.3 转动惯量 109

11.5.4 引力 111

习题11.5 112

11.6 含参变量积分 113

习题11.6 118

11.7 n重积分 118

11.8 广义重积分 122

第12章 曲线积分与曲面积分 124

12.1 第一型曲线积分 124

12.1.1 物理背景——曲线构件的质量 124

12.1.2 第一型曲线积分的定义 124

12.1.3 第一型曲线积分的计算 125

习题12.1 130

12.2 第二型曲线积分 130

12.2.1 物理背景——功的计算 130

12.2.2 第二型曲线积分的定义 131

12.2.3 第二型曲线积分的计算 132

12.2.4 例子 134

12.2.5 两种类型曲线积分的关系 136

习题12.2 138

12.3 Green公式 138

习题12.3 145

12.4 平面情形与路径无关的曲线积分、全微分方程的解法 146

12.4.1 曲线积分与路径无关的条件 146

习题12.4（1） 150

12.4.2 全微分方程的解法 151

12.4.3 积分因子 153

习题12.4（2） 157

12.5 第一型曲面积分 158

习题12.5 162

12.6 第二型曲面积分 163

习题12.6 169

12.7 Gauss公式 169

习题12.7 175

12.8 Stokes公式 176

习题12.8 184

第13章 场论初步 185

13.1 数量场（scalar field）与向量场（vector field） 185

13.2 梯度（gradient）、散度（divergence）、旋度（curl、rotation） 185

13.2.1 数量场f的梯度 185

13.2.2 向量场的散度 187

13.2.3 向量场的旋度 188

13.3 正交曲线坐标系中场算子的计算 189

13.3.1 正交曲线坐标系 189

13.3.2 梯度的计算 193

13.3.3 散度的计算 194

13.3.4 旋度的计算 195

13.4 二阶表达式 197

13.4.1 grad div？ 197

13.4.2 div gradf 197

13.4.3 div rot？ 198

13.4.4 rot gradf 198

13.4.5 rot rot？ 198

13.5 数量势与向量势 199

13.6 应用 204

13.6.1 Newton万有引力场 204

13.6.2 Coulomb静电场 205

13.6.3 不可压缩理想流体运动的Euler方程组 206

习题13.6 210

第4篇 常微分方程初步 212

第14章 二阶线性常微分方程 212

14.1 二阶线性微分方程 212

习题14.1 220

14.2 二阶常系数线性微分方程 221

14.2.1 齐次情形 221

习题14.2（1） 226

14.2.2 非齐次情形 227

14.2.3 Euler方程 233

习题14.2（2） 234

14.2.4 高阶常系数线性微分方程 235

习题14.2（3） 237

14.3 常系数线性微分方程组 237

14.3.1 消去法——转化为高阶方程 238

14.3.2 矩阵方法 239

习题14.3 242

14.4 线性微分方程的幂级数解法 243

14.4.1 正常情形 243

14.4.2 奇异情形 247

习题14.4 254

14.5 解一阶微分方程Cauchy问题的数值方法——Euler折线法 255

14.5.1 Euler折线法 255

14.5.2 Euler方法的误差估计 257

习题14.5 261

14.6 应用举例 262

第15章 Fourier级数 271

15.1 引言 271

习题15.1 272

15.2 Fourier级数 273

习题15.2 283

15.3 正弦展开与余弦展开 284

习题15.3 287

15.4 有限区间上函数的Fourier级数 287

习题15.4 291

第5篇 高等微积分 293

第16章 实数的完备性与极限理论的完成 293

16.1 实数系统 293

16.1.1 算术运算 293

16.1.2 序关系 293

16.1.3 完备性 293

习题16.1 294

16.2 实数完备性的等价表述 295

16.2.1 确界存在定理 295

16.2.2 单调有界原理 297

16.2.3 闭区间套定理 300

16.2.4 Cantor的实数完备性 301

习题16.2 306

16.3 极限理论的完成——极限存在的Cauchy准则 307

习题16.3 311

16.4 上、下极限 311

习题16.4 313

第17章 连续函数 314

17.1 连续与间断 314

习题17.1 315

17.2 连续函数的重要性质 316

习题17.2 319

17.3 一致连续性 320

习题17.3 324

第18章 可积函数 325

18.1 Darboux和数 325

习题18.1 327

18.2 可积性准则 328

习题18.2 331

18.3 可积函数 332

习题18.3 337

第19章 一致收敛性 339

19.1 一致收敛的概念 339

习题19.1 343

19.2 一致收敛的函数序列与函数级数所具有的性质 344

习题19.2 346

19.3 一致收敛的判别 347

习题19.3 352

19.4 对幂级数的应用 353

习题19.4 356

19.5 应用（1）——连续函数空间C［a,b］ 356

习题19.5 363

19.6 应用（2）——一阶常微分方程Cauchy问题解的存在惟一性 364

习题19.6 369

19.7 应用（3）——隐函数存在定理 370

习题19.7 375

19.8 连续变化过程中的一致收敛 375

习题19.8 380

第20章 Fourier分析基本知识 381

20.1 Fourier级数的点点收敛 381

20.1.1 Fourier级数部分和的Dirichlet积分表示 381

20.1.2 Dirichlet核的某些性质 382

20.1.3 Riemann-Lebesgue引理 385

20.1.4 Riemann局部性定理 387

20.1.5 Dirichlet判别法 390

习题20.1 392

20.2 Fourier级数的一致收敛 393

20.2.1 函数Fourier系数的极值性质 393

20.2.2 Fourier级数的一致收敛 395

20.2.3 函数光滑的程度与Fourier级数收敛速度的关系 397

20.3 Gibbs现象 398

20.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分 401

20.4.1 逐项积分 401

20.4.2 函数的三角级数展开与Fourier级数的关系 402

20.4.3 逐项微分 403

习题20.4 404

20.5 Fourier级数的平均收敛 406

20.5.1 Weierstrass第二逼近定理 407

20.5.2 平均收敛的概念 408

20.5.3 Fourier级数的平均收敛 408

习题20.5 410

20.6 Fourier级数的复数形式与Fourier变换 410

20.6.1 有限Fourier变换 411

20.6.2 Fourier变换的概念 413

参考书目 415