第一章 预备知识 1
1 实数集 1
1.1 集合 1
1.2 集合的运算 2
1.3 实数集 3
1.4 区间与邻域 4
1.5 实数的完备性与确界公理 5
2 函数 7
2.1 常量与变量 7
2.2 映射与函数的概念 7
2.3 数的几种特性 11
2.4 反函数与复合函数 15
2.5 初等函数 17
3 常用逻辑符号简介 22
3.1 蕴含与等价 22
3.2 全称量词与存在量词 22
第二章 极限与连续函数 25
1 数列的极限 25
1.1 整标函数与数列的概念 25
1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念 26
1.3 收敛数列的性质 30
1.4 数列极限的四则运算 32
1.5 数列收敛的判别法 34
2 函数的极限 41
2.1 函数极限的概念 41
2.2 函数极限的性质及运算法则 46
2.3 数极限存在的判别法 49
3 无穷小与无穷大 54
3.1 无穷小及其性质 54
3.2 无穷小的比较 56
3.3 无穷大 58
4 连续函数 61
4.1 函数的增量 62
4.2 函数的连续性 63
4.3 函数的间断点及其分类 65
5 连续函数的运算与初等函数的连续性 69
5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 69
5.2 反函数的连续性 70
5.3 复合函数的连续性 70
5.4 初等函数的连续性 72
6 闭区间上连续函数的性质 74
6.1 最大值和最小值定理与有界性定理 74
6.2 介值定理 75
6.3 函数的一致连续性 77
第三章 导数与微分 79
1 导数的概念 79
1.1 引例 79
1.2 导数的概念 80
1.3 函数可导与连续的关系 85
2 求导法则 88
2.1 函数四则运算的求导法则 88
2.2 反函数的求导法则 92
2.3 复合函数的求导法则 93
2.4 初等函数的导数 97
3 高阶导数 99
3.1 高阶导数的概念 99
3.2 Leibniz公式 104
4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 107
4.1 隐函数的求导法则 107
4.2 对数求导法 109
4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则 111
5 微分 115
5.1 微分的概念 115
5.2 微分的几何意义 117
5.3 微分的运算法则 118
5.4 高阶微分 119
5.5 微分的应用 120
第四章 微分中值定理与导数的应用 124
1 微分中值定理 124
1.1 Rolle定理 124
1.2 Lagrange中值定理 127
1.3 Cauchy中值定理 133
2 L'Hospital法则 138
2.1 未定式的概念 138
2.2 未定式的定值法 138
3 Taylor公式 148
3.1 Taylor多项式 148
3.2 Taylor公式 149
3.3 Maclaurin公式 153
3.4 Taylor公式的简单应用 155
4 函数单调性的判别法 158
5 函数的极值与最值 162
5.1 函数的极值及其求法 162
5.2 最大值和最小值问题 166
6 函数的凸性与曲线的拐点 171
6.1 凸函数的概念及其判别法 172
6.2 曲线的拐点及其求法 174
6.3 函数图形的描绘 176
7 弧微分与平面曲线的曲率 182
7.1 弧微分 182
7.2 平面曲线的曲率 185
7.3 曲率圆与曲率半径 188
第五章 不定积分 190
1 不定积分的概念与性质 190
1.1 原函数与不定积分 190
1.2 基本积分公式 192
1.3 不定积分的性质 193
2 不定积分的换元积分法 196
2.1 第一换元法 196
2.2 第二换元法 201
3 不定积分的分部积分法 206
4 几种典型函数的积分举例 210
4.1 有理函数的积分 210
4.2 三角函数有理式的积分 215
4.3 无理函数应用举例 217
第六章 定积分 220
1 定积分的概念与性质 220
1.1 定积分问题的引例 220
1.2 定积分的概念 222
1.3 定积分的几何意义 224
1.4 定积分的性质 224
2 微积分基本定理 228
2.1 积分上限的函数及其导数 228
2.2 Newton-Leibniz公式 230
3 定积分的换元法和分部积分法 234
3.1 定积分的换元积分法 234
3.2 定积分的分部积分 237
4 定积分的应用 240
4.1 微元法 240
4.2 平面图形的面积 241
4.3 体积 245
4.4 平面曲线的弧长 248
4.5 定积分在物理上的应用 251
5 反常积分 255
5.1 无穷积分 255
5.2 无界函数积分 263
第七章 空间解析几何 271
1 空间直角坐标系 271
1.1 空间点的直角坐标 271
1.2 空间两点间的距离 272
2 向量及其运算 274
2.1 向量的概念 274
2.2 向量的加减法，向量与数的乘法 274
2.3 量的坐标 277
2.4 量的方向余弦 279
2.5 量的乘积运算 281
3 平面及其方程 289
3.1 平面的方程 289
3.2 两平面的夹角 292
3.3 点到平面的距离 294
4 空间直线及其方程 295
4.1 空间直线的方程 295
4.2 点、直线、平面之间的关系 298
4.3 过直线的平面束方程 301
5 曲面及其方程 304
5.1 曲面方程 304
5.2 柱面 305
5.3 旋转曲面 306
5.4 曲面的参数方程 307
6 曲线及其方程 309
6.1 曲线方程 309
6.2 空间曲线在坐标面上的投影 311
7 常见的二次曲面 314
7.1 椭球面 314
7.2 二次锥面 315
7.3 双曲面 317
7.4 抛物面 319
习题参考答案 323
参考文献 359