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第一章 预备知识 1

1 实数集 1

1.1 集合 1

1.2 集合的运算 2

1.3 实数集 3

1.4 区间与邻域 4

1.5 实数的完备性与确界公理 5

2 函数 7

2.1 常量与变量 7

2.2 映射与函数的概念 7

2.3 数的几种特性 11

2.4 反函数与复合函数 15

2.5 初等函数 17

3 常用逻辑符号简介 22

3.1 蕴含与等价 22

3.2 全称量词与存在量词 22

第二章 极限与连续函数 25

1 数列的极限 25

1.1 整标函数与数列的概念 25

1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念 26

1.3 收敛数列的性质 30

1.4 数列极限的四则运算 32

1.5 数列收敛的判别法 34

2 函数的极限 41

2.1 函数极限的概念 41

2.2 函数极限的性质及运算法则 46

2.3 数极限存在的判别法 49

3 无穷小与无穷大 54

3.1 无穷小及其性质 54

3.2 无穷小的比较 56

3.3 无穷大 58

4 连续函数 61

4.1 函数的增量 62

4.2 函数的连续性 63

4.3 函数的间断点及其分类 65

5 连续函数的运算与初等函数的连续性 69

5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 69

5.2 反函数的连续性 70

5.3 复合函数的连续性 70

5.4 初等函数的连续性 72

6 闭区间上连续函数的性质 74

6.1 最大值和最小值定理与有界性定理 74

6.2 介值定理 75

6.3 函数的一致连续性 77

第三章 导数与微分 79

1 导数的概念 79

1.1 引例 79

1.2 导数的概念 80

1.3 函数可导与连续的关系 85

2 求导法则 88

2.1 函数四则运算的求导法则 88

2.2 反函数的求导法则 92

2.3 复合函数的求导法则 93

2.4 初等函数的导数 97

3 高阶导数 99

3.1 高阶导数的概念 99

3.2 Leibniz公式 104

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 107

4.1 隐函数的求导法则 107

4.2 对数求导法 109

4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则 111

5 微分 115

5.1 微分的概念 115

5.2 微分的几何意义 117

5.3 微分的运算法则 118

5.4 高阶微分 119

5.5 微分的应用 120

第四章 微分中值定理与导数的应用 124

1 微分中值定理 124

1.1 Rolle定理 124

1.2 Lagrange中值定理 127

1.3 Cauchy中值定理 133

2 L'Hospital法则 138

2.1 未定式的概念 138

2.2 未定式的定值法 138

3 Taylor公式 148

3.1 Taylor多项式 148

3.2 Taylor公式 149

3.3 Maclaurin公式 153

3.4 Taylor公式的简单应用 155

4 函数单调性的判别法 158

5 函数的极值与最值 162

5.1 函数的极值及其求法 162

5.2 最大值和最小值问题 166

6 函数的凸性与曲线的拐点 171

6.1 凸函数的概念及其判别法 172

6.2 曲线的拐点及其求法 174

6.3 函数图形的描绘 176

7 弧微分与平面曲线的曲率 182

7.1 弧微分 182

7.2 平面曲线的曲率 185

7.3 曲率圆与曲率半径 188

第五章 不定积分 190

1 不定积分的概念与性质 190

1.1 原函数与不定积分 190

1.2 基本积分公式 192

1.3 不定积分的性质 193

2 不定积分的换元积分法 196

2.1 第一换元法 196

2.2 第二换元法 201

3 不定积分的分部积分法 206

4 几种典型函数的积分举例 210

4.1 有理函数的积分 210

4.2 三角函数有理式的积分 215

4.3 无理函数应用举例 217

第六章 定积分 220

1 定积分的概念与性质 220

1.1 定积分问题的引例 220

1.2 定积分的概念 222

1.3 定积分的几何意义 224

1.4 定积分的性质 224

2 微积分基本定理 228

2.1 积分上限的函数及其导数 228

2.2 Newton-Leibniz公式 230

3 定积分的换元法和分部积分法 234

3.1 定积分的换元积分法 234

3.2 定积分的分部积分 237

4 定积分的应用 240

4.1 微元法 240

4.2 平面图形的面积 241

4.3 体积 245

4.4 平面曲线的弧长 248

4.5 定积分在物理上的应用 251

5 反常积分 255

5.1 无穷积分 255

5.2 无界函数积分 263

第七章 空间解析几何 271

1 空间直角坐标系 271

1.1 空间点的直角坐标 271

1.2 空间两点间的距离 272

2 向量及其运算 274

2.1 向量的概念 274

2.2 向量的加减法，向量与数的乘法 274

2.3 量的坐标 277

2.4 量的方向余弦 279

2.5 量的乘积运算 281

3 平面及其方程 289

3.1 平面的方程 289

3.2 两平面的夹角 292

3.3 点到平面的距离 294

4 空间直线及其方程 295

4.1 空间直线的方程 295

4.2 点、直线、平面之间的关系 298

4.3 过直线的平面束方程 301

5 曲面及其方程 304

5.1 曲面方程 304

5.2 柱面 305

5.3 旋转曲面 306

5.4 曲面的参数方程 307

6 曲线及其方程 309

6.1 曲线方程 309

6.2 空间曲线在坐标面上的投影 311

7 常见的二次曲面 314

7.1 椭球面 314

7.2 二次锥面 315

7.3 双曲面 317

7.4 抛物面 319

习题参考答案 323

参考文献 359