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第1章 函数 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 内容提要 1
1 区间及其各种表示法 1
2 绝对值及其性质 1
1.1.2 例题分析 2
1 不等式与绝对值不等式之间的互换 2
2 解不等式 3
1.2 函数概念、定义域、反函数、函数符号 6
1.2.1 内容提要 6
1 函数定义 6
2 定义域 6
3 反函数定义 6
1.2.2 例题分析 7
1 有关函数概念的一些问题 7
2 求定义域 9
3 函数的符号运算 11
4 求反函数 15
1.3.1 内容提要 18
1 奇、偶函数的定义 18
2 周期函数定义 18
3 函数增减性定义 18
1.3 偶函数、奇函数、周期函数、函数的增减性 18
1.3.2 例题分析 19
1 判断函数的奇偶性 19
2 函数周期性及其求法 21
3 判断函数的增减性 23
1.4.1 内容提要 24
1.4 建立函数关系 24
1.4.2 例题分析 25
1 由物理知识寻找函数关系 25
2 由几何条件寻找函数关系 25
3 由其他条件寻找函数关系 28
1.5 作函数的图形 29
1.5.1 内容提要 29
1.5.2 例题分析 31
1 图形的叠加 31
2 图形的平移 32
3 综合法作图 33
4 带有绝对值的函数作图法 34
5 其他作图法 35
1.6 综合题、杂题 37
1.7 习题与答案 42
1.7.1 习题 42
1.7.2 答案 46
2 当x→＋∞时，函数f（x）以A为极限的定义 50
限的定义 50
3 当x→－∞时，函数f（x）以A为极 50
2.1.1 内容提要 50
1 数列un的极限定义 50
2.1 极限概念 50
第2章 极限与连续 50
4 当x→∞时，函数f（x）以A为极限的定义 51
5 当x→x0时，函数f（x）以A为极限的定义 51
6 无穷小量的定义 51
7 无穷大量的定义 51
1 有关极限概念中的一些问题 52
2.1.2 例题分析 52
8 有界函数与无界函数的定义 52
2 用极限定义证明极限 54
3 无穷小、无穷大、有界函数及无界函数 62
2.2 极限四则运算 64
2.2.1 内容提要 64
2.2.2 例题分析 65
1 有关极限四则运算的讨论 65
2 用极限四则运算计算极限 67
3 有界函数与无穷小量的乘积定理 73
2.3.2 例题分析 74
1 两个重要极限及其应注意的问题 74
2.3 极限存在准则、两个重要极限 74
2.3.1 内容提要 74
2 利用极限存在准则求极限 79
2.4 无穷小量的比较 82
2.4.1 内容提要 82
2.4.2 例题分析 83
1 利用等价无穷小代换求极限 83
2 加减运算中用各自的等价无穷小代换求极限的条件 85
3 无穷小量阶的判定 88
2.5 连续函数 92
2.5.1 内容提要 92
1 函数的连续定义 92
2 间断点的定义 92
3 连续函数的性质 92
4 最大值和最小值定理 93
5 介值定理 93
2.5.2 例题分析 93
1 连续函数概念中的一些问题 93
2 函数关系已显示的函数（包括分段函数）的连续性 95
3 函数关系未显示的函数的连续性 99
2.6 综合题、杂题 102
2.7 习题与答案 111
2.7.1 习题 111
2.7.2 答案 115
第3章 导数与微分 117
3.1 导数概念及其几何意义 117
3.1.1 内容提要 117
1 函数在一点可导 117
2 函数在区间上可导 118
3 导数的几何意义 119
3.1.2 例题分析 120
1 利用定义求函数的导数以及与导数概念有关的问题 120
2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 128
3.2 导数计算 131
3.2.1 内容提要 131
1 导数的基本公式 131
2 导数运算的基本法则 132
3 复合函数求导法 132
6 对数微分法 133
4 反函数求导法 133
5 隐函数求导法 133
7 由参数方程所确定的函数的求导法 134
3.2.2 例题分析 134
1 利用四则、复合、隐函数求导法则求函数的导数 134
2 与导数的几何意义、物理意义有关的问题 146
3.3 微分概念、性质及其在近似计算中的应用 156
3.3.1 内容提要 156
1 函数在一点可微 156
5 微分的基本公式和运算法则 157
4 微分近似公式 157
2 函数在区间上可微 157
3 微分的几何意义 157
6 微分形式不变性 158
7 用微分作近似计算时的误差估计 159
3.3.2 例题分析 159
1 与微分概念有关的问题 159
2 利用微分运算法则求函数的微分 162
3 利用微分近似公式计算函数的近似值 164
4 有关绝对误差、相对误差的计算 168
1 高阶导数的定义 169
3.4 高阶导数 169
3.4.1 内容提要 169
2 莱布尼茨公式 170
3.4.2 例题分析 170
1 利用定义或充要条件考察函数在一点的二阶可导性 170
2 利用求导的运算法则求函数的二阶导数 172
3 求函数的n阶导数的几种方法 175
4 高阶导数的物理应用 179
3.5.1 习题 182
3.5 习题与答案 182
3.5.2 答案 194
第4章 导数的应用 204
4.1 微分中值定理 204
4.1.1 内容提要 204
1 罗尔定理 204
2 拉格朗日定理 204
4.1.2 例题分析 205
1 对微分中值定理的条件、结论正确理解与运用 205
3 柯西定理 205
2 有关证明不等式的几个命题 207
3 证明不等式 209
4 有关函数零值点或方程根的问题 216
5 利用微分中值定理证明有关ζ的问题 218
6 综合题、杂题 223
4.2 求未定型的极限 226
4.2.1 内容提要 226
1 洛必达法则 226
2 函数在一点可导的充分条件 227
1 用洛必达法则求未定型极限 229
4.2.2 例题分析 229
2 如何求幂指函数的极限？f(x)g(x) 238
3 利用可导的充分条件考察函数在一点的可导性 242
4.3 泰勒公式 248
4.3.1 内容提要 248
1 带有拉格朗日余项的泰勒公式 248
2 带有佩亚诺余项的泰勒公式 249
3 5个初等函数的麦克劳林公式 249
1 如何把函数在一点展成泰勒公式 250
4.3.2 例题分析 250
2 利用泰勒公式确定无穷小量的阶数 256
3 利用泰勒公式（佩氏余项）求未定型极限 257
4 利用泰勒公式（拉氏余项）求函数近似值，并估计误差 264
4.4 函数的研究及函数作图 267
4.4.1 内容提要 267
1 函数的增减性与函数的极值点 267
2 函数在一区间上的最大值和最小值 268
3 曲线的凹凸性与曲线上的拐点 269
1 如何求函数的增减区间及极值点 270
4 曲线的渐近线 270
4.4.2 例题分析 270
2 如何求曲线的凹凸区间及拐点和渐近线 273
3 如何作函数的图形 276
4 如何求函数在定义域上的最大值和最小值 282
5 最大、最小值的应用问题 285
6 利用导数证明可导函数的单调性 289
7 利用导数确定函数零值点（或方程的根） 292
8 综合题、杂题 295
4.5.1 习题 303
4.5 习题与答案 303
4.5.2 答案 313
第5章 不定积分 320
5.1 简单的不定积分计算 320
5.1.1 内容提要 320
1 原函数与不定积分概念 320
2 基本积分表 320
3 不定积分基本性质 321
4 简单的变量代换法 321
1 基本题分析 322
5.1.2 例题分析 322
2 典型方法题分析 327
5.2 变量代换法与分部积分法 340
5.2.1 内容提要 340
1 变量代换法 340
2 分部积分法 340
5.2.2 例题分析 340
1 变量代换法 340
2 分部积分法 347
1 有理函数概念 358
5.3.1 内容提要 358
5.3 有理函数积分法 358
2 简单分式和它们的积分 359
3 有理既约真分式的积分 360
5.3.2 例题分析 360
5.4 三角函数有理式的积分 364
5.4.1 内容提要 364
1 定义 364
2 求三角函数有理式的积分的方法 365
5.4.2 例题分析 365
5.5.1 内容提要 370
5.5 简单无理函数的积分 370
5.5.2 例题分析 371
1 被积函数含有x,？有理式的积分 371
2 被积函数含有x,？有理式的积分 372
5.6 综合题、杂题 377
5.7 习题与答案 383
5.7.1 习题 383
5.7.2 答案 388
2 定积分定义 395
1 积分和 395
6.1.1 内容提要 395
6.1 定积分的概念与性质 395
第6章 定积分 395
3 定积分的几何意义 396
4 性质 396
5 定理 397
6.1.2 例题分析 397
1 有关定积分概念中的一些问题 397
2 不等式的证明 406
1 变上限定积分 411
6.2 定积分计算 411
6.2.1 内容提要 411
2 牛顿-莱布尼茨公式 412
3 变量代换法计算定积分 412
4 分部积分法计算定积分 412
5 计算技巧及公式 412
6.2.2 例题分析 413
1 概念题及简单的计算题 413
2 用定积分计算和式的极限 423
3 有关变上限定积分的例题 427
4 综合题、杂题 434
6.3 定积分应用 452
6.3.1 内容提要 452
1 用定积分解决实际问题的一般方法 452
2 常用的几个公式 453
6.3.2 例题分析 455
1 定积分的几何应用——平面图形的面积与弧长 455
2 定积分的几何应用——体积 461
3 定积分的物理应用——动能、转动惯量、引力、功及质心 467
1 积分区间为无穷的广义积分 483
6.4.1 内容提要 483
6.4 广义积分 483
2 被积函数有无穷型不连续点的广义积分 484
3 收敛性判别法 485
6.4.2 例题分析 486
6.5 习题与答案 497
6.5.1 习题 497
6.5.2 答案 503
2 矢量 507
1 空间直角坐标系的基本问题 507
7.1.1 内容提要 507
7.1 空间直角坐标系 矢量代数 507
第7章 空间解析几何及矢量代数 507
3 矢量在轴上的投影，射影定理 508
4 矢量的坐标表达式 508
5 矢量的加、减法和数乘矢量 509
6 线性关系 510
7 矢量的数量积（点积） 510
8 矢量的矢量积（叉积） 510
9 三个矢量的积 511
1 矢量的概念及其加减法 512
7.1.2 例题分析 512
2 数乘 数量积 矢量积 517
3 杂题 证明题 523
7.2 平面与直线（一） 531
7.2.1 内容提要 531
1 曲面与方程 531
2 平面方程 531
3 直线方程 532
1 特殊平面的方程 533
7.2.2 例题分析 533
2 求平面的方程 535
3 求直线的方程 538
7.3 平面与直线（二） 545
7.3.1 内容提要 545
1 有关平面的问题 545
2 有关直线的问题 545
3 直线和平面的有关问题 546
7.3.2 例题分析 547
1 平面之间的夹角，直线与平面的交点，直线间平行、垂直、相交 547
2 直线在平面上的投影方程 553
3 平面直线的综合题、杂题 555
7.4 二次曲面的标准方程 574
7.4.1 内容提要 574
1 曲面与方程 574
2 空间曲线与方程 575
3 二次曲面的标准方程 575
7.4.2 例题分析 576
1 球面方程、旋转面方程 576
2 投影柱面、投影曲线方程 580
3 作方程的图形 581
4 杂题 583
7.5 习题与答案 585
7.5.1 习题 585
7.5.2 答案 593
自我检查题及解答 597
自我检查题（1） 597
自我检查题（1）解答 598
自我检查题（2） 607
自我检查题（2）解答 608