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目录 1

第1章 函数 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 内容提要 1

1 区间及其各种表示法 1

2 绝对值及其性质 1

1.1.2 例题分析 2

1 不等式与绝对值不等式之间的互换 2

2 解不等式 3

1.2 函数概念、定义域、反函数、函数符号 6

1.2.1 内容提要 6

1 函数定义 6

2 定义域 6

3 反函数定义 6

1.2.2 例题分析 7

1 有关函数概念的一些问题 7

2 求定义域 9

3 函数的符号运算 11

4 求反函数 15

1.3.1 内容提要 18

1 奇、偶函数的定义 18

2 周期函数定义 18

3 函数增减性定义 18

1.3 偶函数、奇函数、周期函数、函数的增减性 18

1.3.2 例题分析 19

1 判断函数的奇偶性 19

2 函数周期性及其求法 21

3 判断函数的增减性 23

1.4.1 内容提要 24

1.4 建立函数关系 24

1.4.2 例题分析 25

1 由物理知识寻找函数关系 25

2 由几何条件寻找函数关系 25

3 由其他条件寻找函数关系 28

1.5 作函数的图形 29

1.5.1 内容提要 29

1.5.2 例题分析 31

1 图形的叠加 31

2 图形的平移 32

3 综合法作图 33

4 带有绝对值的函数作图法 34

5 其他作图法 35

1.6 综合题、杂题 37

1.7 习题与答案 42

1.7.1 习题 42

1.7.2 答案 46

2 当x→＋∞时，函数f（x）以A为极限的定义 50

限的定义 50

3 当x→－∞时，函数f（x）以A为极 50

2.1.1 内容提要 50

1 数列un的极限定义 50

2.1 极限概念 50

第2章 极限与连续 50

4 当x→∞时，函数f（x）以A为极限的定义 51

5 当x→x0时，函数f（x）以A为极限的定义 51

6 无穷小量的定义 51

7 无穷大量的定义 51

1 有关极限概念中的一些问题 52

2.1.2 例题分析 52

8 有界函数与无界函数的定义 52

2 用极限定义证明极限 54

3 无穷小、无穷大、有界函数及无界函数 62

2.2 极限四则运算 64

2.2.1 内容提要 64

2.2.2 例题分析 65

1 有关极限四则运算的讨论 65

2 用极限四则运算计算极限 67

3 有界函数与无穷小量的乘积定理 73

2.3.2 例题分析 74

1 两个重要极限及其应注意的问题 74

2.3 极限存在准则、两个重要极限 74

2.3.1 内容提要 74

2 利用极限存在准则求极限 79

2.4 无穷小量的比较 82

2.4.1 内容提要 82

2.4.2 例题分析 83

1 利用等价无穷小代换求极限 83

2 加减运算中用各自的等价无穷小代换求极限的条件 85

3 无穷小量阶的判定 88

2.5 连续函数 92

2.5.1 内容提要 92

1 函数的连续定义 92

2 间断点的定义 92

3 连续函数的性质 92

4 最大值和最小值定理 93

5 介值定理 93

2.5.2 例题分析 93

1 连续函数概念中的一些问题 93

2 函数关系已显示的函数（包括分段函数）的连续性 95

3 函数关系未显示的函数的连续性 99

2.6 综合题、杂题 102

2.7 习题与答案 111

2.7.1 习题 111

2.7.2 答案 115

第3章 导数与微分 117

3.1 导数概念及其几何意义 117

3.1.1 内容提要 117

1 函数在一点可导 117

2 函数在区间上可导 118

3 导数的几何意义 119

3.1.2 例题分析 120

1 利用定义求函数的导数以及与导数概念有关的问题 120

2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 128

3.2 导数计算 131

3.2.1 内容提要 131

1 导数的基本公式 131

2 导数运算的基本法则 132

3 复合函数求导法 132

6 对数微分法 133

4 反函数求导法 133

5 隐函数求导法 133

7 由参数方程所确定的函数的求导法 134

3.2.2 例题分析 134

1 利用四则、复合、隐函数求导法则求函数的导数 134

2 与导数的几何意义、物理意义有关的问题 146

3.3 微分概念、性质及其在近似计算中的应用 156

3.3.1 内容提要 156

1 函数在一点可微 156

5 微分的基本公式和运算法则 157

4 微分近似公式 157

2 函数在区间上可微 157

3 微分的几何意义 157

6 微分形式不变性 158

7 用微分作近似计算时的误差估计 159

3.3.2 例题分析 159

1 与微分概念有关的问题 159

2 利用微分运算法则求函数的微分 162

3 利用微分近似公式计算函数的近似值 164

4 有关绝对误差、相对误差的计算 168

1 高阶导数的定义 169

3.4 高阶导数 169

3.4.1 内容提要 169

2 莱布尼茨公式 170

3.4.2 例题分析 170

1 利用定义或充要条件考察函数在一点的二阶可导性 170

2 利用求导的运算法则求函数的二阶导数 172

3 求函数的n阶导数的几种方法 175

4 高阶导数的物理应用 179

3.5.1 习题 182

3.5 习题与答案 182

3.5.2 答案 194

第4章 导数的应用 204

4.1 微分中值定理 204

4.1.1 内容提要 204

1 罗尔定理 204

2 拉格朗日定理 204

4.1.2 例题分析 205

1 对微分中值定理的条件、结论正确理解与运用 205

3 柯西定理 205

2 有关证明不等式的几个命题 207

3 证明不等式 209

4 有关函数零值点或方程根的问题 216

5 利用微分中值定理证明有关ζ的问题 218

6 综合题、杂题 223

4.2 求未定型的极限 226

4.2.1 内容提要 226

1 洛必达法则 226

2 函数在一点可导的充分条件 227

1 用洛必达法则求未定型极限 229

4.2.2 例题分析 229

2 如何求幂指函数的极限？f(x)g(x) 238

3 利用可导的充分条件考察函数在一点的可导性 242

4.3 泰勒公式 248

4.3.1 内容提要 248

1 带有拉格朗日余项的泰勒公式 248

2 带有佩亚诺余项的泰勒公式 249

3 5个初等函数的麦克劳林公式 249

1 如何把函数在一点展成泰勒公式 250

4.3.2 例题分析 250

2 利用泰勒公式确定无穷小量的阶数 256

3 利用泰勒公式（佩氏余项）求未定型极限 257

4 利用泰勒公式（拉氏余项）求函数近似值，并估计误差 264

4.4 函数的研究及函数作图 267

4.4.1 内容提要 267

1 函数的增减性与函数的极值点 267

2 函数在一区间上的最大值和最小值 268

3 曲线的凹凸性与曲线上的拐点 269

1 如何求函数的增减区间及极值点 270

4 曲线的渐近线 270

4.4.2 例题分析 270

2 如何求曲线的凹凸区间及拐点和渐近线 273

3 如何作函数的图形 276

4 如何求函数在定义域上的最大值和最小值 282

5 最大、最小值的应用问题 285

6 利用导数证明可导函数的单调性 289

7 利用导数确定函数零值点（或方程的根） 292

8 综合题、杂题 295

4.5.1 习题 303

4.5 习题与答案 303

4.5.2 答案 313

第5章 不定积分 320

5.1 简单的不定积分计算 320

5.1.1 内容提要 320

1 原函数与不定积分概念 320

2 基本积分表 320

3 不定积分基本性质 321

4 简单的变量代换法 321

1 基本题分析 322

5.1.2 例题分析 322

2 典型方法题分析 327

5.2 变量代换法与分部积分法 340

5.2.1 内容提要 340

1 变量代换法 340

2 分部积分法 340

5.2.2 例题分析 340

1 变量代换法 340

2 分部积分法 347

1 有理函数概念 358

5.3.1 内容提要 358

5.3 有理函数积分法 358

2 简单分式和它们的积分 359

3 有理既约真分式的积分 360

5.3.2 例题分析 360

5.4 三角函数有理式的积分 364

5.4.1 内容提要 364

1 定义 364

2 求三角函数有理式的积分的方法 365

5.4.2 例题分析 365

5.5.1 内容提要 370

5.5 简单无理函数的积分 370

5.5.2 例题分析 371

1 被积函数含有x,？有理式的积分 371

2 被积函数含有x,？有理式的积分 372

5.6 综合题、杂题 377

5.7 习题与答案 383

5.7.1 习题 383

5.7.2 答案 388

2 定积分定义 395

1 积分和 395

6.1.1 内容提要 395

6.1 定积分的概念与性质 395

第6章 定积分 395

3 定积分的几何意义 396

4 性质 396

5 定理 397

6.1.2 例题分析 397

1 有关定积分概念中的一些问题 397

2 不等式的证明 406

1 变上限定积分 411

6.2 定积分计算 411

6.2.1 内容提要 411

2 牛顿-莱布尼茨公式 412

3 变量代换法计算定积分 412

4 分部积分法计算定积分 412

5 计算技巧及公式 412

6.2.2 例题分析 413

1 概念题及简单的计算题 413

2 用定积分计算和式的极限 423

3 有关变上限定积分的例题 427

4 综合题、杂题 434

6.3 定积分应用 452

6.3.1 内容提要 452

1 用定积分解决实际问题的一般方法 452

2 常用的几个公式 453

6.3.2 例题分析 455

1 定积分的几何应用——平面图形的面积与弧长 455

2 定积分的几何应用——体积 461

3 定积分的物理应用——动能、转动惯量、引力、功及质心 467

1 积分区间为无穷的广义积分 483

6.4.1 内容提要 483

6.4 广义积分 483

2 被积函数有无穷型不连续点的广义积分 484

3 收敛性判别法 485

6.4.2 例题分析 486

6.5 习题与答案 497

6.5.1 习题 497

6.5.2 答案 503

2 矢量 507

1 空间直角坐标系的基本问题 507

7.1.1 内容提要 507

7.1 空间直角坐标系 矢量代数 507

第7章 空间解析几何及矢量代数 507

3 矢量在轴上的投影，射影定理 508

4 矢量的坐标表达式 508

5 矢量的加、减法和数乘矢量 509

6 线性关系 510

7 矢量的数量积（点积） 510

8 矢量的矢量积（叉积） 510

9 三个矢量的积 511

1 矢量的概念及其加减法 512

7.1.2 例题分析 512

2 数乘 数量积 矢量积 517

3 杂题 证明题 523

7.2 平面与直线（一） 531

7.2.1 内容提要 531

1 曲面与方程 531

2 平面方程 531

3 直线方程 532

1 特殊平面的方程 533

7.2.2 例题分析 533

2 求平面的方程 535

3 求直线的方程 538

7.3 平面与直线（二） 545

7.3.1 内容提要 545

1 有关平面的问题 545

2 有关直线的问题 545

3 直线和平面的有关问题 546

7.3.2 例题分析 547

1 平面之间的夹角，直线与平面的交点，直线间平行、垂直、相交 547

2 直线在平面上的投影方程 553

3 平面直线的综合题、杂题 555

7.4 二次曲面的标准方程 574

7.4.1 内容提要 574

1 曲面与方程 574

2 空间曲线与方程 575

3 二次曲面的标准方程 575

7.4.2 例题分析 576

1 球面方程、旋转面方程 576

2 投影柱面、投影曲线方程 580

3 作方程的图形 581

4 杂题 583

7.5 习题与答案 585

7.5.1 习题 585

7.5.2 答案 593

自我检查题及解答 597

自我检查题（1） 597

自我检查题（1）解答 598

自我检查题（2） 607

自我检查题（2）解答 608