目录 1
引言 1
第零章 微积分是什么？ 3
0.1 实数 3
0.2 微积分是什么？ 4
第一章 函数及其图像 7
1.1 函数 7
1.2 函数的定义域和值域 10
1.3 函数的图像 13
1.4 三角函数和指数函数 15
第二章 函数的代数 21
2.1 对代数的非严格介绍 21
2.2 函数的代数 22
2.3 单位元和反函数 24
第三章 直线、圆和曲线——回顾 29
3.1 直线 29
3.2 圆 33
第四章 极限和连续性 38
4.1 序列的极限 38
4.2 函数的极限 39
4.3 连续函数 43
4.4 极限的代数 45
第五章 导数 48
5.1 切线 48
5.2 函数的导数 50
5.3 用极限计算导数 52
5.4 求切线的方程 55
5.5 高阶导数 56
第六章 导数的基本应用 60
6.1 速度 60
6.2 牛顿法 63
第七章 微积分的规则 67
7.1 初级规则 67
7.2 乘积规则和商规则 69
7.3 链规则 71
7.4 三角函数的导数 73
第八章 隐函数及其导数 77
8.1 隐函数 77
8.2 隐式微分 77
8.3 指数函数，自然对数函数和双曲函数 79
8.4 反函数的导数 84
9.1 极大值和极小值 87
第九章 函数的极大值和极小值 87
9.2 一阶导数判别法 92
9.3 二阶导数判别法 96
第十章 经典的最优化理论 102
10.1 求极大值和极小值的三步法 102
10.2 数学建模 103
10.3 曲面面积和体积问题 107
10.4 经济学中一个简单的数学模型 112
第十一章 函数作图 116
11.1 用一阶和二阶导数判别法作图 116
11.2 有尖点的作图 118
11.3 凹性 120
第十二章 渐近线 125
12.1 渐近线的一般情形 125
12.2 竖直渐近线 126
12.3 水平渐近线 130
第十三章 作为面积的积分 136
13.1 作为面积的积分的直观定义 136
13.2 任意函数的积分 140
13.3 作为和的极限的积分 141
13.4 积分的性质 148
14.1 和 152
第十四章 和，归纳，积分的计算 152
14.2 归纳 154
14.3 积分的计算 157
14.4 积分的近似计算 158
第十五章 作为反导数的积分 164
15.1 微积分基本定理 164
15.2 不定积分 169
15.3 用换元法积分 170
15.4 分部积分 174
15.5 微分方程的基本原理 177
15.6 指数式增长和指数式衰减 180
第十六章 积分的基本应用 185
16.1 函数的平均值 185
16.2 计算面积 186
16.3 计算弧长 191
16.4 作为对横截面面积求和的体积 194
16.5 旋转体的体积 198
第十七章 关于积分的其他论题 204
17.1 对数函数的积分表示 204
17.2 反三角函数的积分表示 206
17.3 有理函数的积分 209
17.4 其他的换元变换 213
17.5 反常积分 217
第十八章 无穷级数 227
18.1 几何级数 227
18.2 一般的无穷级数 230
18.3 积分判别法 232
18.4 其他的收敛判别法 235
18.5 具正项和负项的无穷级数 239
18.6 幂级数 243
19.1 切线近似 249
第十九章 泰勒级数 249
19.2 以泰勒多项式近似函数 250
19.3 麦克劳林级数 253
19.4 二项式级数 256
19.5 函数的泰勒近似中的误差估计 258
19.6 一般的泰勒展开式 261
19.7 复泰勒级数和欧拉公式 264
19.8 洛必达法则 265
19.9 用泰勒级数解微分方程 267
第二十章 二维和三维空间中的向量 273
20.1 向量简介 273
20.2 向量代数 276
20.3 二维和三维空间中的基向量 279
20.4 点积 279
20.5 叉积 283
20.6 叉积的一些基本性质 287
20.7 叉积的应用 288
第二十一章 二维和三维图形 294
21.1 空间直线 294
21.2 平面——它们的方程和性质 297
21.3 空间曲线 301
21.4 极坐标和柱面坐标 304
21.5 极（坐标）函数到向量函数的转换 309
第二十二章 向量函数的微积分 315
22.1 向量函数的导数 315
22.2 积分和弧长 319
22.3 极坐标下的弧长和面积 322
22.4 方向和曲率 325
22.5 速度和加速度 329
第二十三章 多元函数 334
23.1 多元函数 334
23.2 图形显示 336
23.3 偏导数和梯度 339
23.4 全导数 343
23.5 链规则 346
23.6 切平面 349
第二十四章 多维最优化 353
24.1 最速下降法 353
24.2 判别点法 357
24.3 泰勒级数与判别点的分类 362
24.4 拉格朗日乘子法 366
第二十五章 二重积分 373
25.1 对单变量积分的回顾 373
25.2 二重积分 374
25.3 二重积分的计算 379
25.4 极坐标下的二重积分 384
25.5 极坐标下二重积分的计算 388
25.6 用二重积分计算面积和体积 390
25.7 二重积分的换元法 393
第二十六章 三重积分 399
26.1 三重积分和第四个维数 399
26.2 三重积分的计算 403
26.3 三重积分的坐标变换 406
26.4 柱面坐标和球面坐标 408
27.1 向量场 415
第二十七章 向量场和曲线积分 415
27.2 曲线积分 423
27.3 路径的无关性 426
27.4 平面的格林定理 432
第二十八章 曲面积分 439
28.1 曲面积分 439
28.2 开曲面的曲面积分 443
28.3 闭曲面的曲面积分 450
28.4散度定理 453
28.5 旋度和旋量 456
28.6 斯托克斯定理 459
第二十九章 微分形式：概论 466
29.1 微分形式和楔积 466
29.2 d-算子 470
29.3 广义斯托克斯定理 472
第三十章 傅里叶级数 476
30.1 周期函数 476
30.2 周期函数的傅里叶展开 479
30.3 例子 482
附录 初等函数及其等式 489
符号 493
索引 495