第八章 原函数（不定积分） 1
§1.不定积分与它的计算的最简单方法 1
263.原函数（即不定积分）的概念 1
264.积分与面积定义问题 4
265.基本积分表 6
266.最简单的积分法则 7
267.例题 8
268.换元积分法 12
269.例题 15
270.分部积分法 19
271.例题 20
§2.有理式的积分 23
272.在有限形状中积分问题的提出 23
273.部分分式与它们的积分 24
274.分解真分式为部分分式 25
275.系数的确定、真分式的积分 28
276.分离积分的有理部分 30
277.例题 32
§3.某些含有根式的函数的积分 35
278.形状为R（x，？）的积分、例题 35
279.二项式微分的积分、例题 36
280.递推公式 38
281.形状为R（x，？）的表达式的积分、欧拉替换 41
282.欧拉替换的几何解释 42
283.例题 44
284.其他的计算方法 48
285.例题 54
§4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分 56
286.关于R（sinx，cosx）dx的积分 56
287.关于表达式sinνx·cosμx的积分 58
288.例题 59
289.其他情形的概述 63
§5.椭圆积分 64
290.一般说明及定义 64
291.辅助变换 66
292.化成标准形式 68
293.第一、第二与第三类椭圆积分 70
第九章 定积分 73
§1.定积分的定义与存在条件 73
294.处理面积问题的另一方法 73
295.定义 74
296.达布和 76
297.积分的存在条件 78
298.可积函数的种类 80
299.可积函数的一些性质 81
300.例题及补充 83
301.看作极限的下积分与上积分 84
§2.定积分的一些性质 85
302.沿定向区间的积分 85
303.可用等式表示的一些性质 87
304.可用不等式表示的一些性质 88
305.定积分看作积分上限的函数 91
306.第二中值定理 93
§3.定积分的计算与变换 95
307.借助于积分和的计算 95
308.积分学的基本公式 98
309.例题 100
310.基本公式的另一导出法 102
311.递推公式 103
312.例题 104
313.定积分的换元公式 107
314.例题 108
315.高斯公式、蓝登变换 113
316.换元公式的另一导出法 115
§4.定积分的一些应用 116
317.沃利斯公式 116
318.带余项的泰勒公式 117
319.数e的超越性 118
320.勒让德多项式 119
321.积分不等式 122
§5.积分的近似计算 123
322.问题的提出、矩形及梯形公式 123
323.抛物线型插值法 125
324.积分区间的分割 127
325.矩形公式的余项 128
326.梯形公式的余项 130
327.辛卜森公式的余项 130
328.例题 132
第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用 137
§1.弧长 137
329.曲线长的计算 137
330.定义曲线长度的概念及计算曲线长度的另一种途径 139
331.例 141
332.平面曲线的内蕴方程 146
333.例 149
334.空间的曲线的弧长 151
§2.面积与体积 152
335.面积概念的定义、可加性 152
336.面积看作极限 154
337.可求积的区域的种类 156
338.面积的积分表达式 157
339.例 159
340.体积概念的定义及其特性 165
341.有体积的立体的种类 166
342.体积的积分表达式 167
343.例 170
344.旋转曲面的面积 175
345.例 178
346.柱面面积 180
347.例 181
§3.力学与物理学的数量的计算 183
348.定积分应用的大意 183
349.曲线的静力矩与重心的求法 185
350.例 187
351.平面图形的静力矩与重心的求法 188
352.例 189
353.力学上的功 190
354.例 191
355.平面轴基的摩擦力的功 193
356.无穷小元素求和的问题 194
§4.最简单的微分方程 198
357.基本概念、一阶方程 198
358.导数的一次方程、分离变量 199
359.问题 201
360.关于微分方程的构成的附注 206
361.问题 207
第十一章 常数项无穷级数 211
§1.引言 211
362.基本概念 211
363.例题 212
364.基本定理 214
§2.正项级数的收敛性 216
365.正项级数收敛的条件 216
366.级数的比较定理 218
367.例题 219
368.柯西判别法与达朗贝尔判别法 222
369.拉阿伯判别法 224
370.例题 226
371.库默尔判别法 228
372.高斯判别法 230
373.麦克劳林-柯西积分判别法 232
374.叶尔马科夫判别法 235
375.补充材料 237
§3.任意项级数的收敛性 242
376.级数收敛的一般条件 242
377.绝对收敛 243
378.例题 244
379.幂级数、幂级数的收敛区间 246
380.用系数表示收敛半径 247
381.交错级数 249
382.例题 250
383.阿贝尔变换 252
384.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 253
385.例题 255
§4.收敛级数的性质 259
386.可结合性 259
387.绝对收敛级数的可交换性 260
388.非绝对收敛级数的情形 262
389.级数的乘法 264
390.例题 267
391.极限理论中的一般定理 269
392.级数乘法定理的推广 271
§5.累级数与二重级数 273
393.累级数 273
394.二重级数 276
395.例题 280
396.两个变量的幂级数；收敛区域 287
397.例题 289
398.多重级数 291
§6.无穷乘积 291
399.基本概念 291
400.例题 292
401.基本定理·与级数的关系 294
402.例题 297
§7.初等函数的展开 303
403.展开函数成幂级数；泰勒级数 303
404.展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数 305
405.对数级数 307
406.斯特林公式 308
407.二项式级数 310
408.展开sinx与cosx成无穷乘积 312
§8.借助于级数作近似计算 315
409.一般说明 315
410.数π的计算 316
411.对数的计算 318
412.根式的计算 320
413.欧拉级数的变换 322
414.例题 323
415.库默尔变换 325
416.马尔可夫变换 328
§9.发散级数的求和法 330
417.导言 330
418.幂级数法 331
419.陶伯定理 334
420.算术平均法 336
421.泊松-阿贝尔法与切萨罗法的相互关系 337
422.哈代兰道定理 339
423.广义求和法在级数乘法上的应用 341
424.级数的其他广义求和法 342
425.例子 346
426.一般的线性正则求和法类 349
第十二章 函数序列与函数级数 352
§1.一致收敛性 352
427.引言 352
428.一致收敛性与非一致收敛性 354
429.一致收敛性的条件 357
430.级数一致收敛性的判别法 358
§2.级数和的函数性质 361
431.级数和的连续性 361
432.关于拟一致收敛的附注 363
433.逐项取极限 365
434.级数的逐项求积分 366
435.级数的逐项求导数 368
436.序列的观点 371
437.幂级数的和的连续性 373
438.幂级数积分与微分 376
§3.应用 378
439.级数和连续性与逐项取极限的例 378
440.级数的逐项求积分的例 384
441.级数的逐项求导数的例 393
442.隐函数理论中的逐次逼近法 398
443.三角函数的分析定义 401
444.没有导数的连续函数的例子 403
§4.关于幂级数的补充知识 405
445.关于幂级数的运算 405
446.把级数代入级数 408
447.例 410
448.幂级数的除法 415
449.伯努利数及含有伯努利数的展式 417
450.利用级数解方程 421
451.幂级数之反演 424
452.拉格朗日级数 426
§5.复变量的初等函数 430
453.复数 430
454.复整序变量及其极限 432
455.复变量的函数 434
456.幂级数 436
457.指数函数 439
458.对数函数 440
459.三角函数及反三角函数 443
460.乘方函数 446
461.例 447
§6.包络级数与渐近级数·欧拉-麦克劳林公式 451
462.例 451
463.定义 453
464.渐近展开的基本性质 456
465.推导欧拉-麦克劳林公式 459
466.对余式的研究 461
467.借助于欧拉-麦克劳林公式进行计算的例 462
468.欧拉-麦克劳林公式的另一种形式 465
469.斯特林公式与斯特林级数 467
第十三章 反常积分 469
§1.积分限为无穷的反常积分 469
470.积分限为无穷的反常积分的定义 469
471.积分学基本公式的用法 471
472.例题 471
473.与级数类比·最简单的定理 474
474.在正函数情形下积分的收敛性 475
475.一般情形的积分收敛性 476
476.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 477
477.把反常积分化为无穷级数 480
478.例题 482
§2.无界函数的反常积分 488
479.无界函数的积分的定义 488
480.关于奇点的附注 490
481.积分学基本公式的用法·例题 491
482.积分存在的条件和判断法 492
483.例题 495
484.反常积分的主值 497
485.关于发散积分广义值的附注 500
§3.反常积分的性质与变形 502
486.最简单的一些性质 502
487.中值定理 503
488.反常积分的分部积分法 505
489.例题 505
490.反常积分里的变量变换 507
491.例题 508
§4.反常积分的特别计算法 512
492.几个有名的积分 512
493.用积分和计算反常积分·积分限都为有限的情形 515
494.积分带无穷限的情形 516
495.伏汝兰尼积分 519
496.有理函数在正负无穷之间的积分 521
497.杂例和习题 525
§5.反常积分的近似计算 535
498.有限区间上的积分·奇点分出法 535
499.例题 536
500.关于常义积分的近似计算的附注 540
501.带有无穷限的反常积分的近似计算 540
502.渐近展开的应用 542
第十四章 依赖于参数的积分 546
§1.基本理论 546
503.问题的提出 546
504.一致趋于极限函数 546
505.两个极限过程的互换 549
506.在积分号下的极限过程 551
507.在积分号下的微分法 552
508.在积分号下的积分法 554
509.积分限依赖于参数的情形 556
510.仅依赖于x的因子的引入 557
511.例题 559
512.代数学基本定理的高斯证明 568
§2.积分的一致收敛性 569
513.积分的一致收敛性的定义 569
514.一致收敛的条件·与级数的联系 570
515.一致收敛的充分判别法 571
516.一致收敛性的其他情形 573
517.例题 574
§3.积分一致收敛性的应用 578
518.在积分号下的极限过程 578
519.例题 581
520.含参数的积分的连续性与可微性 592
521.含参数的积分的积分法 594
522.对于一些积分计算的应用 596
523.在积分号下取导数的例题 601
524.在积分号下求积分的例题 609
§4.补充 617
525.阿尔泽拉引理 617
526.积分号下取极限 618
527.积分号下取导数 621
528.积分号下取积分 622
§5.欧拉积分 623
529.第一型欧拉积分 623
530.第二型欧拉积分 625
531.Г函数的一些最简单的性质 626
532.由Г函数的特性而得的同义定义 632
533.Г函数的其他函数特性 633
534.例题 635
535.Г函数的对数导数 641
536.Г函数之叠乘定理 642
537.几个级数展式与乘积展式 643
538.例与补充 645
539.若干定积分之计算 650
540.斯特林公式 656
541.欧拉常数之计算 659
542.Г函数的以10为底的对数表的编制 660
索引 663
校订后记 671