微积分学教程 第2卷 第8版PDF电子书下载

第八章 原函数（不定积分） 1

§1.不定积分与它的计算的最简单方法 1

263.原函数（即不定积分）的概念 1

264.积分与面积定义问题 4

265.基本积分表 6

266.最简单的积分法则 7

267.例题 8

268.换元积分法 12

269.例题 15

270.分部积分法 19

271.例题 20

§2.有理式的积分 23

272.在有限形状中积分问题的提出 23

273.部分分式与它们的积分 24

274.分解真分式为部分分式 25

275.系数的确定、真分式的积分 28

276.分离积分的有理部分 30

277.例题 32

§3.某些含有根式的函数的积分 35

278.形状为R（x，？）的积分、例题 35

279.二项式微分的积分、例题 36

280.递推公式 38

281.形状为R（x，？）的表达式的积分、欧拉替换 41

282.欧拉替换的几何解释 42

283.例题 44

284.其他的计算方法 48

285.例题 54

§4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分 56

286.关于R（sinx，cosx）dx的积分 56

287.关于表达式sinνx·cosμx的积分 58

288.例题 59

289.其他情形的概述 63

§5.椭圆积分 64

290.一般说明及定义 64

291.辅助变换 66

292.化成标准形式 68

293.第一、第二与第三类椭圆积分 70

第九章 定积分 73

§1.定积分的定义与存在条件 73

294.处理面积问题的另一方法 73

295.定义 74

296.达布和 76

297.积分的存在条件 78

298.可积函数的种类 80

299.可积函数的一些性质 81

300.例题及补充 83

301.看作极限的下积分与上积分 84

§2.定积分的一些性质 85

302.沿定向区间的积分 85

303.可用等式表示的一些性质 87

304.可用不等式表示的一些性质 88

305.定积分看作积分上限的函数 91

306.第二中值定理 93

§3.定积分的计算与变换 95

307.借助于积分和的计算 95

308.积分学的基本公式 98

309.例题 100

310.基本公式的另一导出法 102

311.递推公式 103

312.例题 104

313.定积分的换元公式 107

314.例题 108

315.高斯公式、蓝登变换 113

316.换元公式的另一导出法 115

§4.定积分的一些应用 116

317.沃利斯公式 116

318.带余项的泰勒公式 117

319.数e的超越性 118

320.勒让德多项式 119

321.积分不等式 122

§5.积分的近似计算 123

322.问题的提出、矩形及梯形公式 123

323.抛物线型插值法 125

324.积分区间的分割 127

325.矩形公式的余项 128

326.梯形公式的余项 130

327.辛卜森公式的余项 130

328.例题 132

第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用 137

§1.弧长 137

329.曲线长的计算 137

330.定义曲线长度的概念及计算曲线长度的另一种途径 139

331.例 141

332.平面曲线的内蕴方程 146

333.例 149

334.空间的曲线的弧长 151

§2.面积与体积 152

335.面积概念的定义、可加性 152

336.面积看作极限 154

337.可求积的区域的种类 156

338.面积的积分表达式 157

339.例 159

340.体积概念的定义及其特性 165

341.有体积的立体的种类 166

342.体积的积分表达式 167

343.例 170

344.旋转曲面的面积 175

345.例 178

346.柱面面积 180

347.例 181

§3.力学与物理学的数量的计算 183

348.定积分应用的大意 183

349.曲线的静力矩与重心的求法 185

350.例 187

351.平面图形的静力矩与重心的求法 188

352.例 189

353.力学上的功 190

354.例 191

355.平面轴基的摩擦力的功 193

356.无穷小元素求和的问题 194

§4.最简单的微分方程 198

357.基本概念、一阶方程 198

358.导数的一次方程、分离变量 199

359.问题 201

360.关于微分方程的构成的附注 206

361.问题 207

第十一章 常数项无穷级数 211

§1.引言 211

362.基本概念 211

363.例题 212

364.基本定理 214

§2.正项级数的收敛性 216

365.正项级数收敛的条件 216

366.级数的比较定理 218

367.例题 219

368.柯西判别法与达朗贝尔判别法 222

369.拉阿伯判别法 224

370.例题 226

371.库默尔判别法 228

372.高斯判别法 230

373.麦克劳林-柯西积分判别法 232

374.叶尔马科夫判别法 235

375.补充材料 237

§3.任意项级数的收敛性 242

376.级数收敛的一般条件 242

377.绝对收敛 243

378.例题 244

379.幂级数、幂级数的收敛区间 246

380.用系数表示收敛半径 247

381.交错级数 249

382.例题 250

383.阿贝尔变换 252

384.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 253

385.例题 255

§4.收敛级数的性质 259

386.可结合性 259

387.绝对收敛级数的可交换性 260

388.非绝对收敛级数的情形 262

389.级数的乘法 264

390.例题 267

391.极限理论中的一般定理 269

392.级数乘法定理的推广 271

§5.累级数与二重级数 273

393.累级数 273

394.二重级数 276

395.例题 280

396.两个变量的幂级数；收敛区域 287

397.例题 289

398.多重级数 291

§6.无穷乘积 291

399.基本概念 291

400.例题 292

401.基本定理·与级数的关系 294

402.例题 297

§7.初等函数的展开 303

403.展开函数成幂级数；泰勒级数 303

404.展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数 305

405.对数级数 307

406.斯特林公式 308

407.二项式级数 310

408.展开sinx与cosx成无穷乘积 312

§8.借助于级数作近似计算 315

409.一般说明 315

410.数π的计算 316

411.对数的计算 318

412.根式的计算 320

413.欧拉级数的变换 322

414.例题 323

415.库默尔变换 325

416.马尔可夫变换 328

§9.发散级数的求和法 330

417.导言 330

418.幂级数法 331

419.陶伯定理 334

420.算术平均法 336

421.泊松-阿贝尔法与切萨罗法的相互关系 337

422.哈代兰道定理 339

423.广义求和法在级数乘法上的应用 341

424.级数的其他广义求和法 342

425.例子 346

426.一般的线性正则求和法类 349

第十二章 函数序列与函数级数 352

§1.一致收敛性 352

427.引言 352

428.一致收敛性与非一致收敛性 354

429.一致收敛性的条件 357

430.级数一致收敛性的判别法 358

§2.级数和的函数性质 361

431.级数和的连续性 361

432.关于拟一致收敛的附注 363

433.逐项取极限 365

434.级数的逐项求积分 366

435.级数的逐项求导数 368

436.序列的观点 371

437.幂级数的和的连续性 373

438.幂级数积分与微分 376

§3.应用 378

439.级数和连续性与逐项取极限的例 378

440.级数的逐项求积分的例 384

441.级数的逐项求导数的例 393

442.隐函数理论中的逐次逼近法 398

443.三角函数的分析定义 401

444.没有导数的连续函数的例子 403

§4.关于幂级数的补充知识 405

445.关于幂级数的运算 405

446.把级数代入级数 408

447.例 410

448.幂级数的除法 415

449.伯努利数及含有伯努利数的展式 417

450.利用级数解方程 421

451.幂级数之反演 424

452.拉格朗日级数 426

§5.复变量的初等函数 430

453.复数 430

454.复整序变量及其极限 432

455.复变量的函数 434

456.幂级数 436

457.指数函数 439

458.对数函数 440

459.三角函数及反三角函数 443

460.乘方函数 446

461.例 447

§6.包络级数与渐近级数·欧拉-麦克劳林公式 451

462.例 451

463.定义 453

464.渐近展开的基本性质 456

465.推导欧拉-麦克劳林公式 459

466.对余式的研究 461

467.借助于欧拉-麦克劳林公式进行计算的例 462

468.欧拉-麦克劳林公式的另一种形式 465

469.斯特林公式与斯特林级数 467

第十三章 反常积分 469

§1.积分限为无穷的反常积分 469

470.积分限为无穷的反常积分的定义 469

471.积分学基本公式的用法 471

472.例题 471

473.与级数类比·最简单的定理 474

474.在正函数情形下积分的收敛性 475

475.一般情形的积分收敛性 476

476.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 477

477.把反常积分化为无穷级数 480

478.例题 482

§2.无界函数的反常积分 488

479.无界函数的积分的定义 488

480.关于奇点的附注 490

481.积分学基本公式的用法·例题 491

482.积分存在的条件和判断法 492

483.例题 495

484.反常积分的主值 497

485.关于发散积分广义值的附注 500

§3.反常积分的性质与变形 502

486.最简单的一些性质 502

487.中值定理 503

488.反常积分的分部积分法 505

489.例题 505

490.反常积分里的变量变换 507

491.例题 508

§4.反常积分的特别计算法 512

492.几个有名的积分 512

493.用积分和计算反常积分·积分限都为有限的情形 515

494.积分带无穷限的情形 516

495.伏汝兰尼积分 519

496.有理函数在正负无穷之间的积分 521

497.杂例和习题 525

§5.反常积分的近似计算 535

498.有限区间上的积分·奇点分出法 535

499.例题 536

500.关于常义积分的近似计算的附注 540

501.带有无穷限的反常积分的近似计算 540

502.渐近展开的应用 542

第十四章 依赖于参数的积分 546

§1.基本理论 546

503.问题的提出 546

504.一致趋于极限函数 546

505.两个极限过程的互换 549

506.在积分号下的极限过程 551

507.在积分号下的微分法 552

508.在积分号下的积分法 554

509.积分限依赖于参数的情形 556

510.仅依赖于x的因子的引入 557

511.例题 559

512.代数学基本定理的高斯证明 568

§2.积分的一致收敛性 569

513.积分的一致收敛性的定义 569

514.一致收敛的条件·与级数的联系 570

515.一致收敛的充分判别法 571

516.一致收敛性的其他情形 573

517.例题 574

§3.积分一致收敛性的应用 578

518.在积分号下的极限过程 578

519.例题 581

520.含参数的积分的连续性与可微性 592

521.含参数的积分的积分法 594

522.对于一些积分计算的应用 596

523.在积分号下取导数的例题 601

524.在积分号下求积分的例题 609

§4.补充 617

525.阿尔泽拉引理 617

526.积分号下取极限 618

527.积分号下取导数 621

528.积分号下取积分 622

§5.欧拉积分 623

529.第一型欧拉积分 623

530.第二型欧拉积分 625

531.Г函数的一些最简单的性质 626

532.由Г函数的特性而得的同义定义 632

533.Г函数的其他函数特性 633

534.例题 635

535.Г函数的对数导数 641

536.Г函数之叠乘定理 642

537.几个级数展式与乘积展式 643

538.例与补充 645

539.若干定积分之计算 650

540.斯特林公式 656

541.欧拉常数之计算 659

542.Г函数的以10为底的对数表的编制 660

索引 663

校订后记 671