第一章 数列极限 1
1 数列极限的定义和基本性质 1
1.1 数列极限的定义 1
1.2 数列极限的基本性质 3
2 借助不等式估计作极限论证举例 9
3 与实数理论有关的几个基本定理 13
3.1 单调有界原理 13
3.2 闭区间套定理 16
3.3 单调有界原理、闭区间套定理与确界原理的等价性 19
4.1 上下数列与上下极限 22
4 上下极限 22
4.2 用上下极限判定极限的存在性 24
5 Cauchy收敛准则 28
5.1 Cauchy数列 28
5.2 用Cauchy准则判定极限的存在性 30
6 子数列 31
6.1 子数列收敛定理 31
6.2 用子数列收敛定理证明Cauchy准则的充分性 32
6.3 用子数列判定极限的存在性 33
6.4 无界数列 33
6.5 用子数列判定极限的非存在性 34
1.1 函数及其图形 36
第二章 函数极限 36
1 函数的基本概念 36
1.2 复合函数和反函数 37
1.3 初等函数 38
1.4 非初等函数举例 42
2 函数极限的定义与性质 44
2.1 函数在一点处的极限 44
2.2 函数在无穷远处的极限 48
2.3 函数极限的性质 49
3 函数极限的判定 52
3.1 函数极限与数列极限的关系 52
3.3 单调有界原理 54
3.2 Cauchy准则 54
3.4 上下极限＊ 55
3.5 函数极限的非存在性判定 55
第三章 函数的连续性 59
1 函数连续性的定义 59
1.1 连续点的定义 59
1.2 间断点的定义 60
1.3 连续函数的定义 60
2 函数的连续性与四则和复合运算 62
3.2 最值定理 64
3 闭区间上连续函数的性质 64
3.1 有界性定理 64
3.3 介值定理 65
3.4 一致连续性 66
4 初等函数的连续性 69
第四章 导数与微分 72
1 导数的几何与物理背景 72
1.1 曲线在其上一点处的切线 72
1.2 变速直线运动物体的瞬时速度 73
1.3 非稳恒电流的电流强度 74
2.1 导数的定义 75
2 导数及其运算法则 75
1.4 非均匀杆的线密度 75
2.2 可导与连续的关系 76
2.3 导数的四则运算 77
2.4 复合函数的导数 79
2.5 反函数的导数 80
2.6 基本初等函数的导数 80
2.7 导数计算例题 84
3 无穷小量与无穷大量 87
4 微分 90
4.1 微分的定义及与导数的关系 90
4.2 微分的运算法则 92
5 高阶导数和高阶微分 95
5.1 高阶导数 95
5.2 高阶微分 99
6 曲线的曲率与密切圆 102
第五章 中值定理与Taylor公式 110
1 微分中值定理 110
1.1 Fermat引理 110
1.2 微分中值定理 110
1.3 Darboux定理 115
2 L'Hospital法则 117
3 Taylor公式 125
3.1 Taylor公式的一般形式 126
3.2 若干初等函数的Maclaurin公式 128
3.3 Taylor公式应用举例 131
4 函数性质的研究与作图 134
4.1 函数的单调性 134
4.2 函数的极值与最值 136
4.3 函数的凸性与拐点 141
4.4 函数作图 148
5 解方程的Newton法 153
1.1 原函数和不定积分的概念 156
1 不定积分的概念与线性性质 156
第六章 不定积分 156
1.2 基本积分公式 158
1.3 不定积分的线性性质 158
2 换元积分法 160
2.1 第一换元积分法 161
2.2 第二换元积分法 164
3 分部积分法 169
4 有理函数的积分及相关积分 173
4.1 有理函数的积分 174
4.2 三角函数有理式的积分 178
4.3 ？R(x,？)dx型积分 180
4.4 ？R(x,？)dx型积分 181
第七章 定积分 186
1 定积分的概念 186
1.1 曲边梯形的面积 186
1.2 变力做功 187
1.3 变速直线运动的路程 187
1.4 定积分的定义 188
2 可积性条件 190
2.1 可积的必要条件 190
2.2 Darboux和 191
2.3 可积的充要条件 192
3 定积分的基本性质 197
4 微积分学基本定理 203
4.1 原函数存在定理 203
4.2 Newton-Leibniz公式 204
5 定积分的计算 208
5.1 定积分的换元法 208
5.2 定积分的分部积分法 212
5.3 Taylor公式的积分型余项 214
5.4 例题选讲 215
6 积分中值定理 219
7.1 微元法 225
7 定积分的应用 225
7.2 定积分在几何上的应用 227
7.3 定积分在物理上的应用 239
第八章 数项级数 244
1 级数的概念与基本性质 244
1.1 收敛与发散 244
1.2 级数的基本性质 245
2 正项级数 249
3 变号级数 261
3.1 Leibniz判别法 261
3.3 Abel判别法和Dirichlet判别法 263
3.2 绝对收敛与条件收敛 263
4.1 无穷级数中各项的次序重排 268
4 级数的代数运算 268
4.2 级数的乘法 272
第九章 广义积分 275
1 广义积分的定义与基本性质 275
1.1 无穷积分的定义 275
1.2 瑕积分的定义 277
1.3 广义积分的基本性质 280
2 非负函数的广义积分 283
3 一般函数的广义积分 291
1 一致收敛性 298
第十章 函数项级数 298
1.1 一致收敛的概念 299
1.2 Cauchy准则 303
1.3 函数级数一致收敛判别法 304
1.4 广义一致收敛 308
2 函数级数的和函数的性质 311
2.1 连续性 311
2.2 逐项积分 312
2.3 逐项微分 314
2.4 Dini定理 317
3 幂级数 319
3.1 幂级数的收敛域 320
3.2 幂级数的性质 322
3.3 Taylor级数 326
4 连续函数表示为多项式序列的一致极限 334
第十一章 Fourier级数 338
1 简谐振动及其叠加 338
2 若干预备知识 340
2.1 按段单调性和光滑性 341
2.2 三角函数系的直交性 341
3.1 Fourier系数的确定 343
3 Fourier系数 343
3.2 计算Fourier系数的例题 345
3.3 Bessel不等式 347
3.4 Riemann引理 348
4 收敛性定理 350
4.1 收敛性条件 350
4.2 Fourier展开式举例 355
5 正弦展开和余弦展开 360
6 Fourier级数的一致收敛性 363
7 逐项积分与逐项微分 366
8 Fourier级数的指数形式与任意周期情形 368