数学分析 第1册PDF电子书下载

第一章 数列极限 1

1 数列极限的定义和基本性质 1

1.1 数列极限的定义 1

1.2 数列极限的基本性质 3

2 借助不等式估计作极限论证举例 9

3 与实数理论有关的几个基本定理 13

3.1 单调有界原理 13

3.2 闭区间套定理 16

3.3 单调有界原理、闭区间套定理与确界原理的等价性 19

4.1 上下数列与上下极限 22

4 上下极限 22

4.2 用上下极限判定极限的存在性 24

5 Cauchy收敛准则 28

5.1 Cauchy数列 28

5.2 用Cauchy准则判定极限的存在性 30

6 子数列 31

6.1 子数列收敛定理 31

6.2 用子数列收敛定理证明Cauchy准则的充分性 32

6.3 用子数列判定极限的存在性 33

6.4 无界数列 33

6.5 用子数列判定极限的非存在性 34

1.1 函数及其图形 36

第二章 函数极限 36

1 函数的基本概念 36

1.2 复合函数和反函数 37

1.3 初等函数 38

1.4 非初等函数举例 42

2 函数极限的定义与性质 44

2.1 函数在一点处的极限 44

2.2 函数在无穷远处的极限 48

2.3 函数极限的性质 49

3 函数极限的判定 52

3.1 函数极限与数列极限的关系 52

3.3 单调有界原理 54

3.2 Cauchy准则 54

3.4 上下极限＊ 55

3.5 函数极限的非存在性判定 55

第三章 函数的连续性 59

1 函数连续性的定义 59

1.1 连续点的定义 59

1.2 间断点的定义 60

1.3 连续函数的定义 60

2 函数的连续性与四则和复合运算 62

3.2 最值定理 64

3 闭区间上连续函数的性质 64

3.1 有界性定理 64

3.3 介值定理 65

3.4 一致连续性 66

4 初等函数的连续性 69

第四章 导数与微分 72

1 导数的几何与物理背景 72

1.1 曲线在其上一点处的切线 72

1.2 变速直线运动物体的瞬时速度 73

1.3 非稳恒电流的电流强度 74

2.1 导数的定义 75

2 导数及其运算法则 75

1.4 非均匀杆的线密度 75

2.2 可导与连续的关系 76

2.3 导数的四则运算 77

2.4 复合函数的导数 79

2.5 反函数的导数 80

2.6 基本初等函数的导数 80

2.7 导数计算例题 84

3 无穷小量与无穷大量 87

4 微分 90

4.1 微分的定义及与导数的关系 90

4.2 微分的运算法则 92

5 高阶导数和高阶微分 95

5.1 高阶导数 95

5.2 高阶微分 99

6 曲线的曲率与密切圆 102

第五章 中值定理与Taylor公式 110

1 微分中值定理 110

1.1 Fermat引理 110

1.2 微分中值定理 110

1.3 Darboux定理 115

2 L'Hospital法则 117

3 Taylor公式 125

3.1 Taylor公式的一般形式 126

3.2 若干初等函数的Maclaurin公式 128

3.3 Taylor公式应用举例 131

4 函数性质的研究与作图 134

4.1 函数的单调性 134

4.2 函数的极值与最值 136

4.3 函数的凸性与拐点 141

4.4 函数作图 148

5 解方程的Newton法 153

1.1 原函数和不定积分的概念 156

1 不定积分的概念与线性性质 156

第六章 不定积分 156

1.2 基本积分公式 158

1.3 不定积分的线性性质 158

2 换元积分法 160

2.1 第一换元积分法 161

2.2 第二换元积分法 164

3 分部积分法 169

4 有理函数的积分及相关积分 173

4.1 有理函数的积分 174

4.2 三角函数有理式的积分 178

4.3 ？R(x,？)dx型积分 180

4.4 ？R(x,？)dx型积分 181

第七章 定积分 186

1 定积分的概念 186

1.1 曲边梯形的面积 186

1.2 变力做功 187

1.3 变速直线运动的路程 187

1.4 定积分的定义 188

2 可积性条件 190

2.1 可积的必要条件 190

2.2 Darboux和 191

2.3 可积的充要条件 192

3 定积分的基本性质 197

4 微积分学基本定理 203

4.1 原函数存在定理 203

4.2 Newton-Leibniz公式 204

5 定积分的计算 208

5.1 定积分的换元法 208

5.2 定积分的分部积分法 212

5.3 Taylor公式的积分型余项 214

5.4 例题选讲 215

6 积分中值定理 219

7.1 微元法 225

7 定积分的应用 225

7.2 定积分在几何上的应用 227

7.3 定积分在物理上的应用 239

第八章 数项级数 244

1 级数的概念与基本性质 244

1.1 收敛与发散 244

1.2 级数的基本性质 245

2 正项级数 249

3 变号级数 261

3.1 Leibniz判别法 261

3.3 Abel判别法和Dirichlet判别法 263

3.2 绝对收敛与条件收敛 263

4.1 无穷级数中各项的次序重排 268

4 级数的代数运算 268

4.2 级数的乘法 272

第九章 广义积分 275

1 广义积分的定义与基本性质 275

1.1 无穷积分的定义 275

1.2 瑕积分的定义 277

1.3 广义积分的基本性质 280

2 非负函数的广义积分 283

3 一般函数的广义积分 291

1 一致收敛性 298

第十章 函数项级数 298

1.1 一致收敛的概念 299

1.2 Cauchy准则 303

1.3 函数级数一致收敛判别法 304

1.4 广义一致收敛 308

2 函数级数的和函数的性质 311

2.1 连续性 311

2.2 逐项积分 312

2.3 逐项微分 314

2.4 Dini定理 317

3 幂级数 319

3.1 幂级数的收敛域 320

3.2 幂级数的性质 322

3.3 Taylor级数 326

4 连续函数表示为多项式序列的一致极限 334

第十一章 Fourier级数 338

1 简谐振动及其叠加 338

2 若干预备知识 340

2.1 按段单调性和光滑性 341

2.2 三角函数系的直交性 341

3.1 Fourier系数的确定 343

3 Fourier系数 343

3.2 计算Fourier系数的例题 345

3.3 Bessel不等式 347

3.4 Riemann引理 348

4 收敛性定理 350

4.1 收敛性条件 350

4.2 Fourier展开式举例 355

5 正弦展开和余弦展开 360

6 Fourier级数的一致收敛性 363

7 逐项积分与逐项微分 366

8 Fourier级数的指数形式与任意周期情形 368