第一章 函数与极限 1
1.1 函数 1
一、函数概念及其几种特性 1
二、反函数 4
三、复合函数 5
四、基本初等函数、初等函数 7
五、函数关系的建立 10
习题1.1 13
1.2 函数的极限 15
一、数列的极限 15
二、函数的极限 19
三、无穷小与无穷大 23
习题1.2 24
1.3 函数极限的性质及运算法则 25
一、函数极限的性质 25
二、函数极限的运算法则 27
三、极限存在准则和两个重要极限 30
习题1.3 35
1.4 无穷小的比较 36
习题1.4 38
1.5 函数的连续性与间断点 38
一、函数的连续性 38
二、函数的间断点 40
习题1.5 42
1.6 连续函数的性质 43
一、连续函数的和、差、积、商的连续性 43
二、反函数与复合函数的连续性 43
三、初等函数的连续性 43
四、闭区间上连续函数的性质 47
习题1.6 48
第二章 导数与微分 50
2.1 导数的概念 50
一、变化率 50
二、导数的概念 51
三、导数的量纲 54
四、可导性与连续性的关系 55
五、可导性的图形意义 56
习题2.1 57
2.2 导数的运算法则 58
一、基本初等函数的导数 58
二、函数的和、差、积、商的导数 63
三、复合函数的导数 64
四、隐函数的导数 66
五、由参数方程所确定的函数的导数 69
习题2.2 71
2.3 函数的微分 73
一、微分的概念 73
二、微分的运算与微分形式的不变性 75
三、微分在近似计算中的应用 77
习题2.3 78
第三章 中值定理与导数的应用 79
3.1 中值定理 79
一、罗尔中值定理 79
二、拉格朗日中值定理 80
三、泰勒中值定理 83
四、柯西中值定理 85
习题3.1 86
3.2 洛必达法则 87
一、？型未定式 87
二、？型未定式 89
三、其他类型未定式 89
习题3.2 92
3.3 函数单调增减性及其判别法 92
习题3.3 95
3.4 函数的极值及其求法 95
一、极值的定义 95
二、极值存在的条件 96
习题3.4 98
3.5 最大值、最小值及其应用 99
习题3.5 102
3.6 曲线的凹凸性及拐点 102
一、曲线的凹凸性及拐点 102
二、曲率 104
习题3.6 106
3.7 函数作图 106
习题3.7 108
3.8 导数应用实例 108
一、变化率及相对变化率在经济中的应用 109
二、征税的学问 113
三、接受能力与讲授时间的关系 114
四、您的书写吊灯应该挂多高 115
五、鱼群的适度捕捞 115
习题3.8 116
第四章 积分 118
4.1 定积分概念 118
一、引例 118
二、定积分的概念 120
三、定积分的几何意义和物理意义 121
四、定积分的基本性质 122
习题4.1 125
4.2 微积分基本定理 126
一、微积分第一基本定理 126
二、原函数与不定积分 128
三、微积分第二基本定理 133
习题4.2 135
4.3 基本积分法 136
一、换元积分法 136
二、分部积分法 149
三、几种特殊类型函数的积分举例 153
习题4.3 157
4.4 反常积分 159
一、无穷区间上的反常积分 159
二、被积函数有无穷间断点的反常积分 161
三、Γ函数与β函数 162
习题4.4 165
4.5 定积分的应用 165
一、定积分的微元法 166
二、定积分的几何应用 166
三、定积分的物理应用 172
四、定积分的其他应用 173
习题4.5 176
第五章 空间解析几何与向量代数 178
5.1 空间直角坐标系 178
一、空间直角坐标系 178
二、空间两点间的距离 179
习题5.1 180
5.2 向量代数 180
一、向量的概念 180
二、向量的线性运算 181
三、向量的坐标表示 183
四、向量的模与方向余弦的坐标表示式 185
五、向量的标量积 186
六、向量的向量积 188
习题5.2 190
5.3 平面与空间直线 190
一、平面 190
二、空间直线 195
习题5.3 198
5.4 空间曲面与空间曲线 199
一、空间曲面 199
二、空间曲线 202
习题5.4 205
5.5 二次曲面 205
一、椭球面 205
二、抛物面 206
三、双曲面 208
四、二次锥面 208
习题5.5 209
第六章 多元函数微分法及其应用 210
6.1 多元函数的基本概念 210
一、区域 210
二、多元函数的定义 211
三、二元函数的极限与连续 214
习题6.1 217
6.2 偏导数与全微分 218
一、偏导数 218
二、全微分 223
习题6.2 227
6.3 多元复合函数与隐函数的求导法则 227
一、多元复合函数的求导法则 227
二、隐函数求导法则 233
习题6.3 236
6.4 偏导数的几何应用 237
一、空间曲线的切线与法平面 237
二、曲面的切平面与法线 238
习题6.4 240
6.5 最优化问题 240
一、极值的概念 240
二、极值存在的条件 241
三、最大值与最小值 243
四、最优化问题 244
五、最小二乘法及其应用 248
习题6.5 253
第七章 多元函数积分及其应用 255
7.1 二重积分的概念与性质 255
一、二重积分的概念 255
二、二重积分的性质 258
习题7.1 259
7.2 二重积分的计算 259
一、在直角坐标系下计算二重积分 260
二、在极坐标系下计算二重积分 266
习题7.2 270
7.3 二重积分的应用 272
一、立体的体积 272
二、曲面的面积 274
习题7.3 277
7.4 三重积分的概念及其计算 278
一、三重积分的概念 278
二、三重积分的计算 279
习题7.4 287
7.5 曲线积分 288
一、对弧长的曲线积分 288
二、对坐标的曲线积分 292
三、格林定理及其应用 299
习题7.5 303
第八章 微分方程与差分方程简介 305
8.1 微分方程的基本概念 305
一、引例 305
二、微分方程的基本概念 306
习题8.1 307
8.2 可分离变量的一阶微分方程 308
习题8.2 310
8.3 一阶线性微分方程 310
一、一阶线性齐次微分方程 311
二、一阶线性非齐次微分方程 311
三、伯努利微分方程 314
习题8.3 315
8.4 可降阶的高阶微分方程 315
一、y(n)=f（x）型的高阶微分方程 315
二、y"=f（x,y'）型的微分方程 316
三、y"=f（y,y'）型的微分方程 318
习题8.4 319
8.5 二阶常系数线性微分方程 320
一、通解的结构 320
二、二阶常系数线性齐次微分方程 321
三、二阶常系数线性非齐次微分方程 324
习题8.5 328
8.6 微分方程应用实例 328
一、嫌疑犯问题 328
二、含盐量问题 329
三、悬链线方程问题 330
习题8.6 332
8.7 差分方程简介 332
一、差分方程的基本概念 332
二、线性差分方程的基本定理 334
三、一阶线性差分方程 335
四、二阶线性差分方程 341
习题8.7 346
第九章 无穷级数 347
9.1 常数项级数的概念与性质 347
一、常数项级数的概念 347
二、无穷级数的基本性质 349
习题9.1 352
9.2 常数项级数敛散性的判别方法 353
一、正项级数及其敛散性的判别方法 353
二、交错级数及其敛散性的判别方法 359
三、绝对收敛与条件收敛 360
习题9.2 362
9.3 幂级数 363
一、函数项级数的一般概念 363
二、幂级数及其收敛域 364
三、幂级数的运算 368
四、函数展开成幂级数 370
五、幂级数在近似计算中的应用 374
习题9.3 377
第十章 数学建模初步及应用范例 379
10.1 建立数学模型的一般步骤 379
10.2 应用范例 381
一、不允许缺货的存贮问题 381
二、交通管理问题 382
三、铅球投掷问题 384
四、传染病的传播问题 387
习题10.2 391
单元自测题 393
一元函数微分学自测题 393
一元函数积分学自测题 394
多元函数微分学自测题 395
多元函数积分学自测题 396
常微分方程自测题 398
无穷级数自测题 398
附录Ⅰ 积分表 400
附录Ⅱ Maple简介 408
附录Ⅲ 二阶和三阶行列式简介 418
附录Ⅳ 常用的三角函数公式 421
附录Ⅴ 常用的极坐标和参数方程表示的曲线 422
习题答案 425
单元自测题答案 447
名词术语索引 450
参考文献 454