第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数概念 1
1.1.2 函数的性质 3
1.1.3 初等函数 4
1.2 极限 5
1.2.1 数列极限 5
1.2.2 函数极限 10
1.2.3 连续函数与函数的连续性 16
小结 20
综合练习一 21
第2章 导数与微分 23
2.1 导数 23
2.1.1 导数的概念 23
2.1.2 求导法则与导数公式 26
2.1.3 隐函数与参数方程求导法则 31
2.1.4 高阶导数 35
2.2 微分 37
2.2.1 微分的概念 37
2.2.2 微分的运算法则和基本公式 39
2.2.3 微分在近似计算上的应用与高阶微分 40
小结 41
综合练习二 42
第3章 中值定理与导数的应用 45
3.1 微分中值定理 45
3.1.1 基本定理 45
3.1.2 中值定理的应用 47
3.2 洛必达法则 49
3.2.1 洛必达法则的概念 49
3.2.2 洛必达法则的应用 51
3.3 函数的单调性及其极值、最值 53
3.3.1 函数的单调性 53
3.3.2 函数的极值和最值 56
3.4 函数的凸凹性、拐点以及函数图像的描绘 59
3.4.1 函数的凸凹性与拐点 59
3.4.2 函数图像的描绘 63
小结 65
综合练习三 65
第4章 不定积分 68
4.1 原函数的定义及不定积分的概念和性质 68
4.1.1 原函数与不定积分的概念 68
4.1.2 不定积分的性质 73
4.2.1 两类换元法及举例 75
4.2 换元积分法和分部积分法 75
4.2.2 分部积分法 81
4.3 不定积分的举例和积分表的使用 85
小结 89
综合练习四 89
第5章 定积分 91
5.1 定积分的概念和性质 91
5.1.1 定积分的概念 91
5.1.2 定积分的性质 93
5.2.1 微积分基本定理 95
5.2 定积分的计算 95
5.2.2 定积分的计算方法 97
5.3 定积分的应用 101
5.3.1 定积分的元素法 101
5.3.2 定积分在几何上的应用 102
5.3.3 定积分在物理方面的应用 111
小结 112
综合练习五 112
6.1.1 级数的概念 114
6.1.2 级数的收敛性 114
6.1 级数的概念、收敛性及基本性质 114
第6章 级数 114
6.1.3 级数的基本性质 115
6.2 正项级数 116
6.3 一般项级数 120
6.4 无穷级数及代数运算 124
6.5 函数项级数 125
6.5.1 函数项级数的处处收敛 125
6.5.2 一致收敛的定义 126
6.6.1 幂级数的收敛半径和收敛区间 129
6.6 幂级数 129
6.6.2 幂级数的性质 131
6.6.3 函数的幂级数展开 132
6.6.4 初等函数的幂级数展开 133
6.6.5 幂级数的应用举例 135
小结 137
综合练习六 138
第7章 广义积分 140
7.1 无穷区间的广义积分 140
7.2 无穷区间广义积分收敛性判别法 143
7.3 无界函数的广义积分 146
7.4 无界函数积分收敛性的判别法 147
小结 149
综合练习七 150
第8章 Fourier级数 151
8.1 三角级数与Fourier级数 151
8.1.1 三角级数的一般形式 151
8.1.2 周期函数的一个简单性质 152
8.1.3 内积和正交 152
8.1.4 基本三角函数正交系统 152
8.1.5 Fourier系数和Fourier级数 153
8.2.3 收敛定理 155
8.2.2 按段光滑函数的性质 155
8.2.1 Fourier级数收敛性的判定 155
8.2 Fourier级数的收敛性 155
8.2.4 函数展开为Fourier级数的两个实例 156
8.3 正弦级数与余弦级数 157
8.4 任意区间上的Fourier级数 159
8.4.1 周期2l情形 159
8.4.2 非周期函数情形 159
8.5 傅氏积分与傅氏变换 160
8.5.1 傅氏积分 160
8.5.2 傅氏变换 161
综合练习八 162
小结 162
9.1 Rn中的点集及其性质 164
9.1.1 邻域、点列的极限 164
第9章 欧氏空间与多元函数 164
9.1.2 开集、闭集与区域 165
9.1.3 点集的几个基本定理 166
9.2 多元函数的极限 167
9.2.1 多元函数的概念 167
9.2.2 多元函数极限的定义 167
9.2.3 二重极限与二次极限 169
9.3.1 多元函数连续性的定义 172
9.3 多元函数的连续性 172
9.3.2 有界闭区间上连续函数的性质 173
小结 174
综合练习九 175
第10章 多元函数微分学 177
10.1 偏导数与全微分 177
10.1.1 偏导数与全微分的定义 177
10.1.2 高阶偏导数与全微分 182
10.1.3 复合函数链式求导法则 185
10.2.1 方程时的情况 189
10.2 由方程(组)确定的隐函数及其求导法 189
10.2.2 方程组时的情况 192
10.3 泰勒公式 196
10.4 多元函数微分学的应用 197
10.4.1 空间曲线的切线及法面 197
10.4.2 空间曲面的切平面与法线 199
10.4.3 简单极值问题与条件极值问题 202
10.4.4 最小二乘法 208
10.5 含参变量的积分 208
10.5.1 含参变量的正常积分 209
10.5.2 含参变量的广义积分 213
10.5.3 欧拉积分—B函数与Г函数 220
小结 226
综合练习十 226
第11章 重积分 231
11.1 重积分的概念与性质 231
11.1.1 重积分的概念 231
11.1.2 函数的可积性 234
11.1.3 二重积分的基本性质 236
11.2 化重积分为累次积分 237
11.2.1 二重积分化累次积分 238
11.2.2 三重积分化累次积分 245
11.3 重积分的变量替换 248
11.3.1 二重积分的变量替换 248
11.3.2 三重积分的变量替换 255
11.4 重积分的应用 261
11.4.1 二重积分的应用 261
11.4.2 三重积分的应用 263
11.5 广义多重积分 265
11.5.1 广义多重积分的概念 265
11.5.2 广义多重积分收敛判别法 266
综合练习十一 268
小结 268
第12章 曲线和曲面积分及场论 271
12.1 曲线和曲面积分 271
12.1.1 第一型曲线积分与第二型曲线积分 271
12.1.2 第一型曲面积分与第二型曲面积分 278
12.2 积分间的联系与场论基础 285
12.2.1 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式 285
12.2.2 曲线积分与路径无关性 293
12.2.3 场论基础 297
小结 303
综合练习十二 303
参考文献 306