第1讲 数学方法论引论 1
1 研究数学方法论的意义和目的 1
2 宏观的方法论与微观的方法论 2
3 略论希尔伯特成功的社会因素 3
4 浅淡微观的数学方法论 7
第2讲 略论数学模型方法 15
1 数学模型的意义 15
2 数学模型的类别及简单例子 16
3 MM的构造过程及特点 20
4 怎样培训构造MM的能力 22
第3讲 关系映射反演原则的应用 24
1 何谓“关系映射反演原则”？ 24
2 数学中的RMI原则 27
3 若干较简单的例子 29
4 几个较难一点的例子 35
5 用RMI原则分析“不可能性命题” 40
6 关于RMI原则的补充说明 45
第4讲 略论数学公理化方法 48
1 公理化方法的意义和作用 48
2 公理化方法发展简史 49
3 公理化方法的基本内容 53
4 重要例子——几何学公理化方法 54
5 关于公理系统的相容性问题 58
6 略谈自然科学中的公理化方法 62
第5讲 关于数学的结构主义 65
1 结构主义学派的形成过程 65
2 布巴基学派的一般观点 66
3 数学结构的分类 66
4 数直线结构分析 68
5 略谈拓扑结构 69
6 略谈同构概念 71
7 略评结构主义 73
1 代数基本定理与根式解法研究简史 75
第6讲 代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法 75
2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理 79
3 伽罗瓦的思想方法 86
4 方程式可解性理论简介 92
第7讲 关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法 97
1 略论“无限”概念蕴含的矛盾 97
2 非标准数域的构造方法 101
3 非康托型自然数序列模型的构造法 110
4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释 114
5 略论无限的两种形态 115
第8讲 悖论与数学基础问题 119
1 悖论的定义和起源 119
2 悖论举例和数学三次危机 123
3 策莫洛对悖论的解决方案 131
4 罗素对悖论的解决方案 139
5 塔斯基及其语义学 146
6 哥德尔的不完备性定理与悖论 147
7 悖论的成因与研究悖论的重要意义 150
第9讲 论数学基础诸流派及其无穷观 152
1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因 152
2 逻辑主义派的观点和方法 154
3 直觉主义派的观点和方法 159
4 略论形式公理学派的观点和主张 171
5 关于三大流派的简短评论 175
第10讲 略论数学发明创造的心智过程 177
1 何谓数学上的发明或创造？ 177
2 庞卡莱关于数学创造的论点 178
3 略谈数学创造的一般心智过程 180
附录 数学抽象度概念与抽象度分析法 183
1 引言 183
2 抽象与严格偏序 184
3 抽象度的一般概念 187
4 略论抽象法则与抽象难度 191
5 抽象度分析法概述 193
主要参考文献 196