第一章 函数 极限与连续 1
1-1 初等函数 1
一、引例 1
二、函数概念 2
三、函数的几种特性 5
四、反函数与复合函数 7
五、基本初等函数 8
六、初等函数 13
七、简单数学模型举例 14
习题1-1 16
1-2 函数的极限 18
一、数列的极限 18
二、x→∞时函数的极限 21
三、x→x0时函数的极限 23
四、极限的性质 25
习题1-2 27
1-3 无穷小量与无穷大量 28
一、无穷小量 28
二、无穷大量 29
习题1-3 31
一、无穷小的运算性质 32
1-4 极限运算法则 32
二、极限的四则运算法则 33
习题1-4 37
1-5 极限存在准则两个重要极限 38
一、夹逼准则 38
二、单调有界准则 40
习题1-5 43
1-6 无穷小的比较 44
习题1-6 45
1-7 函数的连续性 46
一、函数的连续性概念 46
二、函数的间断点 48
习题1-7 49
1-8 连续函数的运算与初等函数的连续性 50
一、连续函数的四则运算 50
二、反函数的连续性 50
三、复合函数的连续性 50
四、初等函数的连续性 52
习题1-8 52
1-9 闭区间上连续函数的性质 53
一、最大值、最小值定理 53
二、介值定理 54
实例一 连续计息问题 55
习题1-9 55
1-10 应用实例 55
实例二 数据拟合 56
第二章 一元函数微分学 59
2-1 导数的概念 59
一、引例 59
二、导数的定义 61
三、一些基本初等函数的导数 64
四、可导与连续的关系 66
2-2 导数的运算法则 67
一、导数的四则运算法则 67
习题2-1 67
二、反函数的求导法则 70
三、复合函数的求导法则 71
四、初等函数的求导公式 73
习题2-2 74
2-3 高阶导数 76
习题2-3 78
2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 78
一、隐函数求导法则 78
二、由参数方程确定的函数的导数 81
三、相关变化率 83
习题2-4 84
2-5 函数的微分 85
一、微分的定义 85
二、微分与导数的关系 87
三、微分的意义与应用 88
四、一阶微分形式不变性 89
五、微分运算法则 90
习题2-5 91
2-6 微分中值定理 92
一、罗尔(Rolle)定理 93
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 94
三、柯西(Cauchy)中值定理 97
习题2-6 99
2-7 洛必达法则 99
一、？型未定式 100
二、？型未定式 100
三、其他类型的未定式 101
习题2-7 103
2-8 泰勒公式 103
习题2-8 108
2-9 函数的单调性与极值 108
一、函数的单调性 108
二、函数的极值 111
三、最大值与最小值问题 114
习题2-9 116
2-10 函数图形的描绘 118
一、曲线的凹凸性与拐点 118
二、渐近线 122
三、函数图形的描绘 123
习题2-10 126
2-11 平面曲线的曲率 126
一、弧微分 126
二、平面曲线的曲率 128
三、曲率圆与曲率半径 131
习题2-11 133
2-12 导数在其他学科中的应用 133
一、导数在其他学科中的含义——变化率 133
二、导数在经济学中的应用 135
习题2-12 138
2-13 应用实例 139
实例一 选址问题 139
实例二 销售决策问题 140
第三章 一元函数积分学 141
3-1 定积分的概念与性质 141
一、引例 141
二、定积分的定义 145
三、定积分的几何意义 147
四、定积分的性质 148
习题3-1 152
3-2 微积分基本定理 153
一、积分上限的函数 153
二、牛顿-莱布尼茨公式 156
习题3-2 158
3-3 不定积分 158
一、不定积分的概念 158
三、不定积分的运算法则 160
二、基本积分表 160
习题3-3 163
3-4 换元积分法 164
一、不定积分的第一换元积分法 164
二、不定积分的第二换元积分法 170
三、定积分的换元法 173
习题3-4 177
3-5 分部积分法 179
一、不定积分的分部积分法 179
二、定积分的分部积分法 182
习题3-5 185
一、无穷区间上的反常积分 186
3-6 反常积分 186
二、无界函数的反常积分 188
习题3-6 190
3-7 定积分的几何应用(一) 191
一、微元分析法 191
二、平面图形的面积 193
习题3-7 196
3-8 定积分的几何应用(二) 196
一、空间立体的体积 197
二、平面曲线的弧长 199
习题3-8 202
一、变力沿直线作功 203
3-9 定积分的物理应用 203
二、引力 204
三、液体的静压力 205
习题3-9 205
3-10 应用实例 206
实例一 钓鱼证问题 206
实例二 索道的长度问题 207
第四章 微分方程 209
4-1 微分方程的概念 209
一、引例 209
二、微分方程的基本概念 211
4-2 一阶微分方程 213
一、可分离变量的方程 213
习题4-1 213
二、齐次方程 216
三、一阶线性微分方程 219
习题4-2 223
4-3 可降阶的二阶微分方程 224
一、y″=f(x，y′)型的微分方程 225
二、y″=f(y，y′)型的微分方程 226
习题4-3 227
一、二阶线性齐次方程解的结构 228
4-4 二阶线性微分方程 228
二、二阶线性非齐次方程解的结构 229
三、二阶常系数线性微分方程的解法 229
习题4-4 235
4-5 应用实例 235
实例一 核废料处理问题 235
实例二 探照灯反射镜面的形状 237
实例三 缉私船的追击问题 238
习题答案 241
参考文献 260