第一章 多元函数的极限和连续性 1
1 多元函数的概念 1
1.1 平面点集 1
1.2 多元函数 5
2 多元函数的极限 8
2.1 二重极限 8
2.2 极限的运算法则 11
2.3 二次极限 12
3 多元函数的连续性 15
3.1 连续函数 15
3.2 有界闭区域上连续函数的性质 17
3.3 多元初等函数的连续性 17
第二章 多元函数的微分学及其应用 19
1 偏导数 19
1.1 偏导数 19
1.2 高阶偏导数 22
2 全微分 26
2.1 微分中值定理 26
2.2 全微分 28
2.3 高阶全微分 33
3 复合函数的微分法 35
3.1 链锁规则 35
3.2 一阶全微分形式不变性 40
4 隐函数微分法 44
4.1 由方程式确定的隐函数的微分法 44
4.2 由方程组确定的隐函数的微分法 48
4.3 Jacobi行列式的性质 52
5 方向导数和梯度 56
5.1 方向导数 56
5.2 梯度 59
6 向量值函数的导数 61
6.1 向量值函数 61
6.2 量值函数的导数 62
7 多元微分学的几何应用 66
7.1 空间曲线的切线和法平面 66
7.2 曲面的切平面与法线 69
8 多元函数的Taylor公式与极值问题 74
8.1 多元函数的Taylor公式 74
8.2 多元函数的极值问题 78
8.3 条件极值问题 83
第三章 重积分 91
1 二重积分的概念与性质 91
1.1 二重积分的概念 91
1.2 二重积分的几何意义和性质 94
2 重积分的计算 98
2.1 在直角坐标系下计算二重积分 98
2.2 在极坐标系下计算二重积分 104
2.3 二重积分的换元法 109
3 三重积分 117
3.1 三重积分的概念 117
3.2 在直角坐标系下计算三重积分 118
3.3 在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分 123
4 含参变量的积分与反常重积分 130
4.1 含参变量的积分 130
4.2 含参变量的反常积分 135
4.3 Г函数与B函数 138
4.4 反常重积分 140
第四章 第一型曲线积分与曲面积分 145
1 第一型曲线积分 145
1.1 第一型曲线积分的概念与性质 145
1.2 第一型曲线积分的计算 147
2 第一型曲面积分 152
2.1 第一型曲面积分的概念与性质 152
2.2 曲面面积的计算 153
2.3 第一型曲面积分的计算 155
3 几何形体上的积分及其应用 159
3.1 几何形体上的积分概念 159
3.2 几何形体上积分的性质 160
3.3 几何形体上的积分应用举例 161
第五章 第二型曲线积分与曲面积分 171
1 第二型曲线积分 171
1.1 第二型曲线积分的概念与性质 171
1.2 两种曲线积分之间的关系 173
1.3 第二型曲线积分的计算 174
2 Green公式及其应用 180
2.1 Green公式 181
2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 186
3 第二型曲面积分 192
3.1 第二型曲面积分的概念与性质 192
3.2 第二型曲面积分的计算 195
4 Gauss公式及其应用 202
4.1 Gauss公式 203
4.2 散度 207
5 Stokes公式 210
5.1 Stokes公式 210
5.2 旋度 213
第六章 无穷级数 217
1 数项级数的概念与性质 217
1.1 数项级数的概念 217
1.2 数项级数的性质 218
2 正项级数的敛散性 221
2.1 比较判别法 221
2.2 比值判别法(D'Alembert判别法) 224
2.3 根值判别法(Cauchy判别法) 226
2.4 积分判别法 226
3 任意项级数 229
3.1 Cauchy收敛准则Leibniz判别法 229
3.2 绝对收敛与条件收敛 231
3.3 级数的乘法运算 233
4 函数项级数 234
4.1 函数项级数的概念 234
4.2 函数项级数的一致收敛性 236
4.3 一致收敛级数的和函数的性质 240
5 幂级数 244
5.1 幂级数及其收敛性 244
5.2 幂级数的运算 246
5.3 数展开成幂级数 249
5.4 幂级数的应用举例 253
6 Fourier级数 256
6.1 三角函数系的正交性 256
6.2 以2π为周期的函数的Fourier级数 257
6.3 奇、偶函数的展开 263
6.4 数展开成正弦级数或余弦级数 265
6.5 以2l为周期的函数的Fourier级数 266
6.6 Fourier级数的复数形式 272
第七章 常微分方程 276
1 常微分方程的基本概念 276
1.1 常微分方程举例 276
1.2 基本概念 278
2 可分离变量的方程 280
2.1 可分离变量的方程 280
2.2 齐次微分方程 282
3 一阶线性微分方程 287
3.1 齐次线性微分方程 287
3.2 非齐次线性微分方程 288
3.3 Bernoulli方程 291
4 全微分方程和积分因子 294
4.1 全微分方程 294
4.2 积分因子 297
5 一阶隐式方程 301
5.1 参数形式的解 301
5.2 方程y=f(x,y＇) 302
5.3 方程x=f(y,y′) 305
6 特殊的高阶常微分方程的解法 307
6.1 方程y(n)=f(x) 307
6.2 方程y"=f(x,y＇) 308
6.3 方程y"=f(y,y＇) 310
7 n阶线性微分方程的一般理论 312
7.1 解的存在与惟一性定理 312
7.2 函数间的线性关系 313
8 阶齐次线性微分方程 317
8.1 通解结构定理 317
8.2 通解的求法 319
8.3 常系数齐次线性微分方程 322
9 n阶非齐次线性微分方程 327
9.1 通解结构定理 328
9.2 通解的求法 329
9.3 常系数非齐次线性微分方程 333
9.4 Euler方程 342
习题参考答案 346
参考文献 372