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第一章 多元函数的极限和连续性 1

1 多元函数的概念 1

1.1 平面点集 1

1.2 多元函数 5

2 多元函数的极限 8

2.1 二重极限 8

2.2 极限的运算法则 11

2.3 二次极限 12

3 多元函数的连续性 15

3.1 连续函数 15

3.2 有界闭区域上连续函数的性质 17

3.3 多元初等函数的连续性 17

第二章 多元函数的微分学及其应用 19

1 偏导数 19

1.1 偏导数 19

1.2 高阶偏导数 22

2 全微分 26

2.1 微分中值定理 26

2.2 全微分 28

2.3 高阶全微分 33

3 复合函数的微分法 35

3.1 链锁规则 35

3.2 一阶全微分形式不变性 40

4 隐函数微分法 44

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法 44

4.2 由方程组确定的隐函数的微分法 48

4.3 Jacobi行列式的性质 52

5 方向导数和梯度 56

5.1 方向导数 56

5.2 梯度 59

6 向量值函数的导数 61

6.1 向量值函数 61

6.2 量值函数的导数 62

7 多元微分学的几何应用 66

7.1 空间曲线的切线和法平面 66

7.2 曲面的切平面与法线 69

8 多元函数的Taylor公式与极值问题 74

8.1 多元函数的Taylor公式 74

8.2 多元函数的极值问题 78

8.3 条件极值问题 83

第三章 重积分 91

1 二重积分的概念与性质 91

1.1 二重积分的概念 91

1.2 二重积分的几何意义和性质 94

2 重积分的计算 98

2.1 在直角坐标系下计算二重积分 98

2.2 在极坐标系下计算二重积分 104

2.3 二重积分的换元法 109

3 三重积分 117

3.1 三重积分的概念 117

3.2 在直角坐标系下计算三重积分 118

3.3 在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分 123

4 含参变量的积分与反常重积分 130

4.1 含参变量的积分 130

4.2 含参变量的反常积分 135

4.3 Г函数与B函数 138

4.4 反常重积分 140

第四章 第一型曲线积分与曲面积分 145

1 第一型曲线积分 145

1.1 第一型曲线积分的概念与性质 145

1.2 第一型曲线积分的计算 147

2 第一型曲面积分 152

2.1 第一型曲面积分的概念与性质 152

2.2 曲面面积的计算 153

2.3 第一型曲面积分的计算 155

3 几何形体上的积分及其应用 159

3.1 几何形体上的积分概念 159

3.2 几何形体上积分的性质 160

3.3 几何形体上的积分应用举例 161

第五章 第二型曲线积分与曲面积分 171

1 第二型曲线积分 171

1.1 第二型曲线积分的概念与性质 171

1.2 两种曲线积分之间的关系 173

1.3 第二型曲线积分的计算 174

2 Green公式及其应用 180

2.1 Green公式 181

2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 186

3 第二型曲面积分 192

3.1 第二型曲面积分的概念与性质 192

3.2 第二型曲面积分的计算 195

4 Gauss公式及其应用 202

4.1 Gauss公式 203

4.2 散度 207

5 Stokes公式 210

5.1 Stokes公式 210

5.2 旋度 213

第六章 无穷级数 217

1 数项级数的概念与性质 217

1.1 数项级数的概念 217

1.2 数项级数的性质 218

2 正项级数的敛散性 221

2.1 比较判别法 221

2.2 比值判别法(D'Alembert判别法) 224

2.3 根值判别法(Cauchy判别法) 226

2.4 积分判别法 226

3 任意项级数 229

3.1 Cauchy收敛准则Leibniz判别法 229

3.2 绝对收敛与条件收敛 231

3.3 级数的乘法运算 233

4 函数项级数 234

4.1 函数项级数的概念 234

4.2 函数项级数的一致收敛性 236

4.3 一致收敛级数的和函数的性质 240

5 幂级数 244

5.1 幂级数及其收敛性 244

5.2 幂级数的运算 246

5.3 数展开成幂级数 249

5.4 幂级数的应用举例 253

6 Fourier级数 256

6.1 三角函数系的正交性 256

6.2 以2π为周期的函数的Fourier级数 257

6.3 奇、偶函数的展开 263

6.4 数展开成正弦级数或余弦级数 265

6.5 以2l为周期的函数的Fourier级数 266

6.6 Fourier级数的复数形式 272

第七章 常微分方程 276

1 常微分方程的基本概念 276

1.1 常微分方程举例 276

1.2 基本概念 278

2 可分离变量的方程 280

2.1 可分离变量的方程 280

2.2 齐次微分方程 282

3 一阶线性微分方程 287

3.1 齐次线性微分方程 287

3.2 非齐次线性微分方程 288

3.3 Bernoulli方程 291

4 全微分方程和积分因子 294

4.1 全微分方程 294

4.2 积分因子 297

5 一阶隐式方程 301

5.1 参数形式的解 301

5.2 方程y=f(x,y＇) 302

5.3 方程x=f(y,y′) 305

6 特殊的高阶常微分方程的解法 307

6.1 方程y(n)=f(x) 307

6.2 方程y"=f(x,y＇) 308

6.3 方程y"=f(y,y＇) 310

7 n阶线性微分方程的一般理论 312

7.1 解的存在与惟一性定理 312

7.2 函数间的线性关系 313

8 阶齐次线性微分方程 317

8.1 通解结构定理 317

8.2 通解的求法 319

8.3 常系数齐次线性微分方程 322

9 n阶非齐次线性微分方程 327

9.1 通解结构定理 328

9.2 通解的求法 329

9.3 常系数非齐次线性微分方程 333

9.4 Euler方程 342

习题参考答案 346

参考文献 372