序言 1
第一章 实数 1
1. 实数集合及其有序化 1
1. 前言 1
2. 无理数定义 2
3. 实数集合的有序化 5
4. 实数的无尽十进小数的表示法 7
5. 实数集合的连续性 9
6. 数集合的界 11
2. 实数的四则运算 14
7. 实数的和的定义及其性质 14
8. 对称数·绝对值 15
9. 实数的积的定义及其性质 17
3. 实数的其他性质及其应用 19
10. 根的存在性·具有有理指数的乘幂 19
11. 具有任何实数的乘幂 20
12. 对数 22
13. 线段的测量 23
第二章 单变量的函数 26
1. 函数概念 26
14. 变量 26
15. 变量的变域 27
16. 变量间的函数关系·例题 28
17. 函数概念的定义 29
18. 函数的解析表示法 32
19. 函数的图形 34
20. 以自然数为变元的函数 36
21. 历史的附注 38
2. 几类最重要的函数 40
22. 初等函数 40
23. 反函数的概念 43
24. 反三角函数 45
25. 函数的迭置·结束语 49
27. 数的序列 51
26. 历史的说明 51
1. 函数的极限 51
第三章 极限论 51
28. 序列的极限定义 53
29. 无穷小量 54
30. 例 56
31. 无穷大量 59
32. 函数的极限定义 61
33. 函数的极限的另一定义 63
34. 例 65
35. 单侧极限 71
2. 关于极限的定理 72
36. 具有有限的极限的自然数变元的函数的性质 72
37. 推广到任意变量的函数情形 74
38. 在等式与不等式中取极限 76
39. 关于无穷小量的预备定理 78
40. 变量的算术运算 79
41. 未定式 81
42. 推广到任意变量的函数情形 84
43. 例 85
3. 单调函数 89
44. 自然数变元的单调函数的极限 89
45. 例 91
46. 关于区间套的预备定理 93
47. 在一般情形下单调函数的极限 94
4. 数e 96
48. 数e看作序列的极限 96
49. 数e的近似计算法 98
50. 数e的基本公式·自然对数 100
5. 收敛原理 102
51. 部分序列 102
52. 以自然数为变元的函数其有限的极限的存在条件 105
53. 任何变元的函数具有有限极限的存在条件 107
6. 无穷小量与无穷大量的分类 108
54. 无穷小量的比较 108
55. 无穷小量的尺度 110
56. 等价的无穷小量 111
57. 无穷小量的主部的分离 113
58. 应用问题 114
59. 无穷大量的分类 115
第四章 单变量的连续函数 117
1. 函数的连续性(与间断点) 117
60. 函数在一点处的连续性的定义 117
61. 单调函数的连续性的条件 119
62. 连续函数的算术运算 121
63. 初等函数连续性 121
64. 连续函数的叠置 123
65. 几个极限的计算 124
66. 幂-指数表达式 126
67. 间断点的分类·例子 127
2. 连续函数的性质 129
68. 关于函数取零值的定理 129
69. 应用于解方程 132
70. 关于中间值的定理 132
71. 反函数的存在性 134
72. 关于函数的有界性的定量 136
73. 函数的最大值与最小值 137
74. 一致连续性的概念 139
75. 关于一致连续性的定理 141
第五章 单变量函数的微分法 143
1. 导数及其计算 143
76. 动点速度的计算问题 143
77. 作曲线的切线的问题 145
78. 导数的定义 147
79. 计算导数的例 151
80. 反函数的导数 154
81. 导数公式汇集 156
82. 函数增量的公式 157
83. 计算导数的几个最简单法则 158
84. 复合函数的导数 160
85. 例 162
86. 单侧导数 164
87. 无穷导数 165
88. 特殊情况的例子 166
2. 微分 167
89. 微分的定义 167
90. 可微性与导数存在之间的关系 168
91. 微分的基本公式及法则 170
92. 微分形式的不变性 172
93. 微分作为近似公式的来源 173
94. 微分在估计误差中的应用 174
95. 高阶导数的定义 176
3. 高阶导数及高阶微分 176
96. 任意阶导数的普遍公式 178
97. 莱布尼茲公式 180
98. 高阶微分 182
99. 高阶微分形式不变性的破坏 183
第六章 微分学的基本定理 186
1. 中值定理 186
100. 费马定理 186
101. 罗尔定理 187
102. 有限增量定理 189
103. 导数的极限 191
104. 有限增量定理的推广 192
2. 戴劳公式 193
105. 多项式的戴劳公式 193
106. 任意函数的展开式 195
107. 余项的其他形式 199
108. 巳得的公式在初等函数上的应用 202
109. 近似公式·例 204
110. 函数为常数的条件 207
第七章 应用导数来研究函数 207
1. 函数的变化过程的研究 207
111. 函数为单调的条件 208
112. 极大及极小·必要条件 210
113. 第一法则 211
114. 第二法则 214
115. 函数的作图 215
116. 例 216
117. 高阶导数的应用 219
118. 最大值及最小值的求法 221
2. 函数的最大值及最小值 221
119. 问题 222
3. 未定式的定值法 224
120. ？型未定式 224
121. ？型未定式 227
122. 其他类型的未定式 229
第八章 多元函数 232
1. 基本概念 232
123. 变量之间的函数关系·例 232
124. 二元函数及其定义区域 233
125. m维算术空间 236
126. m维空间中的区域举例 239
127. 开区域及闭区域的一般定义 241
128. m元函数 243
129. 多元函数的极限 244
130. 例 247
131. 累次极限 248
2. 连续函数 251
132. 多元函数的连续性及间断 251
133. 连续函数的运算 253
134. 关于函数取零值的定理 254
135. 波尔察诺-维尔斯德拉斯辅助定理 256
136. 关于函数的界性的定理 257
137. 一致连续性 258
138. 偏导数 261
1. 多元函数的导数与微分 261
第九章 多元函数的微分学 261
139. 函数的全增量 262
140. 复合函数的导数 265
141. 例 267
142. 全微分 268
143. 一阶微分形式的不变性 270
144. 全微分在近似计算中的应用 272
145. 齐次函数 274
146. 高阶导数 277
2. 高阶导数与高阶微分 277
147. 关于混合导数的定理 278
148. 高阶微分 281
149. 复合函数的微分 283
150. 戴劳公式 285
3. 极值、最大值与最小值 287
151. 多元函数的极值·必要条件 287
152. 静止点的研究(二元函数的情况) 288
153. 函数的最大值与最小值·例子 292
154. 问题 294
第十章 原函数(不定积分) 299
1. 不定积分及其最简单的计算法 299
155. 原函数概念(及不定积分概念) 299
156. 积分与求面积问题 302
157. 基本积分表 305
158. 最简单的积分法则 306
159. 例 308
160. 变量替换积分法 309
161. 例 312
162. 分部分积分法 314
163. 例 315
2. 有理式的积分 318
164. 有限形式积分法问题的提出 318
165. 简单分数及其积分 319
166. 真分式的积分 321
167. 奥斯脱罗格拉德斯基的积分有理部分分出法 323
168. R(x，？)dx型根式的积分法 327
3. 某些根式的积分法 327
169. 二项式微分的积分法 328
170. R(x,?)型根式的积分法·欧拉氏置换法 330
4. 含有三角函数及指数函数的式子的积分法 335
171. 微分式R(sinx,cosx)dx的积分法 335
172. 其他情形概述 339
5. 椭圆积分 340
173. 定义 340
174. 化为典式 341
175. 解决面积问题的另一途径 343
1. 定积分定义存在条件 343
第十一章 定积分 343
176. 定义 345
177. 达布和 346
178. 积分存在条件 349
179. 可积函数类别 351
2. 定积分性质 353
180. 依有向区间的积分 353
181. 可用等式表出的性质 354
182. 可用不等式表出的性质 356
183. 定积分作为上限的函数 360
3. 定积分的计算及变换 363
184. 用积分和的计算 363
185. 积分学基本公式 365
186. 定积分中变数替换公式 366
187. 定积分的分部积分法 368
188. 瓦里斯公式 370
189. 梯形的公式 371
4. 积分的近似计算 371
190. 抛物线公式 373
191. 近似公式的余项 376
192. 例 379
第十二章 积分学的几何应用及力学应用 381
1. 面积及体积 381
193. 面积概念的定义.可求积区域 381
194. 面积的可加性 383
195. 面积作为极限 384
196. 以积分表出面积 385
197. 体积概念的定义及其性质 390
198. 以积分表出体积 392
2. 弧长 398
199. 弧长概念的定义 398
200. 辅助定理 401
201. 以积分表出弧长 402
202. 变弧及其微分 406
3. 力学及物理上的数量的计算 408
204. 定积分应用程式 408
203. 空间曲线的弧长 408
205. 回转面面积 411
206. 曲线的静力矩及重心的求法 414
207. 平面图形的静力矩及重心的求法 417
208. 力功 419
第十三章 微分学的一些几何应用 421
1. 切线及切面 421
209. 平面曲线的解析表出法 421
210. 平面曲线的切线 423
211. 切线的正方向 427
212. 空间曲线 429
213. 曲面的切面 431
2. 平面曲线的贡率 434
214. 凹向，拐点 434
215. 曲率概念 436
216. 曲率圆及曲率半径 440
218. 不可分素方法 443
217. 十七世纪与无穷小分析 443
1. 微积分前史 443
第十四章 数学分析基本观念发生简史 443
219. 不可分素学说的进一步发展 446
220. 求最大及最小(极大极小).切线作法 449
221. 借助运动学想法来作切线 451
222. 切线作法问题与求积问题的互逆性 452
223. 以前的总结 453
2. 依蕯克·牛顿 454
224. 流数计算法 454
225. 流数计算法的逆计算法；求积 457
226. 牛顿的“原理”及极限理论的萌芽 460
227. 牛顿的奠基问题 460
3. 莱卜尼茲 461
228. 建立新计算法的初步 461
229. 最先刊行的微分学著作 462
230. 最先刊行的积分学著作 464
231. 莱卜尼茲的其他著作.学派的建立 465
232. 莱卜尼茲的奠基问题 466
233. 结尾语 467