数学分析原理 第1卷 第1、2分册PDF电子书下载

序言 1

第一章 实数 1

1. 实数集合及其有序化 1

1. 前言 1

2. 无理数定义 2

3. 实数集合的有序化 5

4. 实数的无尽十进小数的表示法 7

5. 实数集合的连续性 9

6. 数集合的界 11

2. 实数的四则运算 14

7. 实数的和的定义及其性质 14

8. 对称数·绝对值 15

9. 实数的积的定义及其性质 17

3. 实数的其他性质及其应用 19

10. 根的存在性·具有有理指数的乘幂 19

11. 具有任何实数的乘幂 20

12. 对数 22

13. 线段的测量 23

第二章 单变量的函数 26

1. 函数概念 26

14. 变量 26

15. 变量的变域 27

16. 变量间的函数关系·例题 28

17. 函数概念的定义 29

18. 函数的解析表示法 32

19. 函数的图形 34

20. 以自然数为变元的函数 36

21. 历史的附注 38

2. 几类最重要的函数 40

22. 初等函数 40

23. 反函数的概念 43

24. 反三角函数 45

25. 函数的迭置·结束语 49

27. 数的序列 51

26. 历史的说明 51

1. 函数的极限 51

第三章 极限论 51

28. 序列的极限定义 53

29. 无穷小量 54

30. 例 56

31. 无穷大量 59

32. 函数的极限定义 61

33. 函数的极限的另一定义 63

34. 例 65

35. 单侧极限 71

2. 关于极限的定理 72

36. 具有有限的极限的自然数变元的函数的性质 72

37. 推广到任意变量的函数情形 74

38. 在等式与不等式中取极限 76

39. 关于无穷小量的预备定理 78

40. 变量的算术运算 79

41. 未定式 81

42. 推广到任意变量的函数情形 84

43. 例 85

3. 单调函数 89

44. 自然数变元的单调函数的极限 89

45. 例 91

46. 关于区间套的预备定理 93

47. 在一般情形下单调函数的极限 94

4. 数e 96

48. 数e看作序列的极限 96

49. 数e的近似计算法 98

50. 数e的基本公式·自然对数 100

5. 收敛原理 102

51. 部分序列 102

52. 以自然数为变元的函数其有限的极限的存在条件 105

53. 任何变元的函数具有有限极限的存在条件 107

6. 无穷小量与无穷大量的分类 108

54. 无穷小量的比较 108

55. 无穷小量的尺度 110

56. 等价的无穷小量 111

57. 无穷小量的主部的分离 113

58. 应用问题 114

59. 无穷大量的分类 115

第四章 单变量的连续函数 117

1. 函数的连续性(与间断点) 117

60. 函数在一点处的连续性的定义 117

61. 单调函数的连续性的条件 119

62. 连续函数的算术运算 121

63. 初等函数连续性 121

64. 连续函数的叠置 123

65. 几个极限的计算 124

66. 幂-指数表达式 126

67. 间断点的分类·例子 127

2. 连续函数的性质 129

68. 关于函数取零值的定理 129

69. 应用于解方程 132

70. 关于中间值的定理 132

71. 反函数的存在性 134

72. 关于函数的有界性的定量 136

73. 函数的最大值与最小值 137

74. 一致连续性的概念 139

75. 关于一致连续性的定理 141

第五章 单变量函数的微分法 143

1. 导数及其计算 143

76. 动点速度的计算问题 143

77. 作曲线的切线的问题 145

78. 导数的定义 147

79. 计算导数的例 151

80. 反函数的导数 154

81. 导数公式汇集 156

82. 函数增量的公式 157

83. 计算导数的几个最简单法则 158

84. 复合函数的导数 160

85. 例 162

86. 单侧导数 164

87. 无穷导数 165

88. 特殊情况的例子 166

2. 微分 167

89. 微分的定义 167

90. 可微性与导数存在之间的关系 168

91. 微分的基本公式及法则 170

92. 微分形式的不变性 172

93. 微分作为近似公式的来源 173

94. 微分在估计误差中的应用 174

95. 高阶导数的定义 176

3. 高阶导数及高阶微分 176

96. 任意阶导数的普遍公式 178

97. 莱布尼茲公式 180

98. 高阶微分 182

99. 高阶微分形式不变性的破坏 183

第六章 微分学的基本定理 186

1. 中值定理 186

100. 费马定理 186

101. 罗尔定理 187

102. 有限增量定理 189

103. 导数的极限 191

104. 有限增量定理的推广 192

2. 戴劳公式 193

105. 多项式的戴劳公式 193

106. 任意函数的展开式 195

107. 余项的其他形式 199

108. 巳得的公式在初等函数上的应用 202

109. 近似公式·例 204

110. 函数为常数的条件 207

第七章 应用导数来研究函数 207

1. 函数的变化过程的研究 207

111. 函数为单调的条件 208

112. 极大及极小·必要条件 210

113. 第一法则 211

114. 第二法则 214

115. 函数的作图 215

116. 例 216

117. 高阶导数的应用 219

118. 最大值及最小值的求法 221

2. 函数的最大值及最小值 221

119. 问题 222

3. 未定式的定值法 224

120. ？型未定式 224

121. ？型未定式 227

122. 其他类型的未定式 229

第八章 多元函数 232

1. 基本概念 232

123. 变量之间的函数关系·例 232

124. 二元函数及其定义区域 233

125. m维算术空间 236

126. m维空间中的区域举例 239

127. 开区域及闭区域的一般定义 241

128. m元函数 243

129. 多元函数的极限 244

130. 例 247

131. 累次极限 248

2. 连续函数 251

132. 多元函数的连续性及间断 251

133. 连续函数的运算 253

134. 关于函数取零值的定理 254

135. 波尔察诺-维尔斯德拉斯辅助定理 256

136. 关于函数的界性的定理 257

137. 一致连续性 258

138. 偏导数 261

1. 多元函数的导数与微分 261

第九章 多元函数的微分学 261

139. 函数的全增量 262

140. 复合函数的导数 265

141. 例 267

142. 全微分 268

143. 一阶微分形式的不变性 270

144. 全微分在近似计算中的应用 272

145. 齐次函数 274

146. 高阶导数 277

2. 高阶导数与高阶微分 277

147. 关于混合导数的定理 278

148. 高阶微分 281

149. 复合函数的微分 283

150. 戴劳公式 285

3. 极值、最大值与最小值 287

151. 多元函数的极值·必要条件 287

152. 静止点的研究(二元函数的情况) 288

153. 函数的最大值与最小值·例子 292

154. 问题 294

第十章 原函数(不定积分) 299

1. 不定积分及其最简单的计算法 299

155. 原函数概念(及不定积分概念) 299

156. 积分与求面积问题 302

157. 基本积分表 305

158. 最简单的积分法则 306

159. 例 308

160. 变量替换积分法 309

161. 例 312

162. 分部分积分法 314

163. 例 315

2. 有理式的积分 318

164. 有限形式积分法问题的提出 318

165. 简单分数及其积分 319

166. 真分式的积分 321

167. 奥斯脱罗格拉德斯基的积分有理部分分出法 323

168. R(x，？)dx型根式的积分法 327

3. 某些根式的积分法 327

169. 二项式微分的积分法 328

170. R(x,?)型根式的积分法·欧拉氏置换法 330

4. 含有三角函数及指数函数的式子的积分法 335

171. 微分式R(sinx,cosx)dx的积分法 335

172. 其他情形概述 339

5. 椭圆积分 340

173. 定义 340

174. 化为典式 341

175. 解决面积问题的另一途径 343

1. 定积分定义存在条件 343

第十一章 定积分 343

176. 定义 345

177. 达布和 346

178. 积分存在条件 349

179. 可积函数类别 351

2. 定积分性质 353

180. 依有向区间的积分 353

181. 可用等式表出的性质 354

182. 可用不等式表出的性质 356

183. 定积分作为上限的函数 360

3. 定积分的计算及变换 363

184. 用积分和的计算 363

185. 积分学基本公式 365

186. 定积分中变数替换公式 366

187. 定积分的分部积分法 368

188. 瓦里斯公式 370

189. 梯形的公式 371

4. 积分的近似计算 371

190. 抛物线公式 373

191. 近似公式的余项 376

192. 例 379

第十二章 积分学的几何应用及力学应用 381

1. 面积及体积 381

193. 面积概念的定义.可求积区域 381

194. 面积的可加性 383

195. 面积作为极限 384

196. 以积分表出面积 385

197. 体积概念的定义及其性质 390

198. 以积分表出体积 392

2. 弧长 398

199. 弧长概念的定义 398

200. 辅助定理 401

201. 以积分表出弧长 402

202. 变弧及其微分 406

3. 力学及物理上的数量的计算 408

204. 定积分应用程式 408

203. 空间曲线的弧长 408

205. 回转面面积 411

206. 曲线的静力矩及重心的求法 414

207. 平面图形的静力矩及重心的求法 417

208. 力功 419

第十三章 微分学的一些几何应用 421

1. 切线及切面 421

209. 平面曲线的解析表出法 421

210. 平面曲线的切线 423

211. 切线的正方向 427

212. 空间曲线 429

213. 曲面的切面 431

2. 平面曲线的贡率 434

214. 凹向，拐点 434

215. 曲率概念 436

216. 曲率圆及曲率半径 440

218. 不可分素方法 443

217. 十七世纪与无穷小分析 443

1. 微积分前史 443

第十四章 数学分析基本观念发生简史 443

219. 不可分素学说的进一步发展 446

220. 求最大及最小(极大极小).切线作法 449

221. 借助运动学想法来作切线 451

222. 切线作法问题与求积问题的互逆性 452

223. 以前的总结 453

2. 依蕯克·牛顿 454

224. 流数计算法 454

225. 流数计算法的逆计算法；求积 457

226. 牛顿的“原理”及极限理论的萌芽 460

227. 牛顿的奠基问题 460

3. 莱卜尼茲 461

228. 建立新计算法的初步 461

229. 最先刊行的微分学著作 462

230. 最先刊行的积分学著作 464

231. 莱卜尼茲的其他著作.学派的建立 465

232. 莱卜尼茲的奠基问题 466

233. 结尾语 467