第一章 高等代数基础与空间解析几何初步 1
1.1 直角坐标系 1
一 平面直角坐标系 1
二 空间直角坐标系 2
1.1 矢量的合成与分解 6
一 矢量的概念 7
二 数乘矢量 8
三 矢量的加减法 8
四 矢量在轴上的投影 10
五 矢量的分解 12
一 矢量的标积 19
1.3 矢量的乘积 19
二 标积的坐标表示法 21
三 矢量的矢积 23
四 矢积的坐标表示法 24
五 矢积的应用--力矩 25
六 矢量的混合积 29
1.4 复数及其表示法 35
一 实数与复数 35
二 复数的几何意义 36
三 复数的三角式和指数式 36
四 共轭复数 38
一 复数的加减法 39
1.5 复数的运算 39
二 复数的乘除法 40
三 复数的乘方和开方 41
1.6 行列式的定义 43
一 预备知识 44
二 三阶行列式的定义 45
三 n阶行列式的定义 46
1.7 子行列式·代数余子式 47
1.8 行列式的性质 52
1.9 线性方程组 64
一 基本概念 64
二 克兰姆定理 67
三 线性齐次方程组 69
1.10 消元法解线性方程组 75
1.11 平面与空间直线 85
一 平面方程 86
二 空间的直线方程 92
1.12 二次曲面 99
一 曲面方程与空间曲线方程 99
二 椭球面·球面 102
三 柱面 104
四 锥面·旋转曲面 106
五 椭圆抛物面 108
六 双曲面 109
第二章 一元函数的微分学 113
一 实数的基本性质 113
二 数列的极限 118
2.1 极限与连续 123
三 函数的极限 139
四 连续函数的概念及其重要性质 165
五 初等函数 176
2.2 导数与微分 183
一 导数与微分的概念 183
二 微分法则 194
三 高阶导数 210
2.3 微分学的基本定理 219
一 中值定理 219
二 泰勒定理 230
2.4 导数的应用 253
一 函数的增减与极值 253
二 函数的凸性与拐点 266
三 曲线的概形 271
四 待定式的极限 275
第三章 一元函数的积分学 282
3.1 不定积分 282
一 不定积分 282
二 换元积分法 287
三 换元积分法(续) 296
四 分部积分法 301
五 有理函数的积分法 305
六 无理函数的积分 312
七 超越函数的积分 319
3.2 定积分 330
一 定积分的定义 330
二 微积分学的基本公式--牛-莱公式 335
三 定积分的基本性质 339
四 定积分的换元法与分部积分法 347
五 广义积分 359
一 元素法·平面图形的面积 368
3.3 定积分的应用 368
二 旋转体的体积·平行截面面积为已知的立体的体积 377
三 平面曲线的弧长与旋转面的表面积 383
第四章 无穷级数 390
4.1 级数的概念与性质 390
一 无穷级数的概念 390
二 无穷级数的基本性质与收敛条件 392
4.2 级数收敛性的判断 397
一 正项级数 397
二 绝对收敛级数 402
三 交错级数 404
4.3 幂级数的收敛半径 406
4.4 幂级数的运算 409
一 代数运算 409
二 幂级数的微分与积分 410
4.5 泰勒级数 412
4.6 初等函数的泰勒展开 415
一 直接方法 415
二 间接方法 417
4.7 三角级数 420
4.8 傅里叶级数 422
一 周期函数的傅里叶级数 422
二 傅里叶级数的收敛问题 425
三 奇函数和偶函数的傅里叶级数 428
四 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数 430
4.9 复数形式的傅里叶级数 432
第五章 微分方程初步 436
5.1 微分方程的概念 436
5.2 一阶常微分方程 438
一 可分离变量的一阶常微分方程 438
二 一阶线性常微分方程 441
5.3 常系数二阶线性齐次方程 447
5.4 常系数二阶线性非齐次方程 453
5.5 一维振动 462
一 简谐振动 463
二 阻尼振动 465
三 强迫振动 468
5.6 微分方程的幂级数解法举例 471
第六章 多元函数的微分法 474
6.1 二元函数的极限与连续 474
6.2 偏导数与全微分 481
一 定义与举例 481
二 复合函数的微分法 495
6.3 偏导数的应用 504
一 空间曲线的切线与法平面·曲面的切平面与法线 504
二 二元函数的泰勒展开 512
三 隐函数 516
四 极值 525
第七章 重积分 539
7.1 二重积分 539
一 二重积分的定义 539
二 二重积分的计算 544
三 二重积分的计算(续)--二重积分中的变数代换 552
四 二重积分的应用 566
7.2 三重积分 571
一 三重积分的定义与计算 571
二 三重积分中的变数代换·柱坐标·球坐标 578
三 三重积分的力学应用 586
一 第一型曲线积分的定义 591
第八章 曲线积分与曲面积分 591
8.1 第一型曲线积分的概念与计算 591
二 第一型曲线积分的计算 594
8.2 第二型曲线积分的概念与计算 601
一 第二型曲线积分的定义 601
二 第二型曲线积分的计算 603
8.3 格林公式及其应用 611
一 格林公式 611
二 平面上曲线积分与路径无关的条件 620
8.4 第一型曲面积分 628
一 第一型曲面积分的概念 628
二 第一型曲面积分的计算 629
三 第一型曲面积分的计算(续) 637
8.5 第二型曲面积分 646
一 第二型曲面积分的定义 646
二 第二型曲面积分的计算 652
8.6 高斯公式 659
8.7 斯托克司公式 666
第九章 矢量分析 673
9.1 矢量对标量的导数和积分 673
一 矢量对标量的导数 673
二 矢量对标量的积分 680
二 标量场的等值面与梯度 681
一 标量场 681
9.2 标量场·等值面·梯度 681
9.3 矢量场·流线·环量·通量 689
一 矢量场·流线 689
二 矢量的曲线积分·环量 691
三 矢量场的通量 694
9.4 矢量场的散度·高斯公式 697
9.5 矢量场的旋度 703
9.6 矢量场的分类 708
一 有散场和无散场 708
二 有旋场和无旋场 709
三 谐和场 712
四 一般矢量场的分解 713
附录 714
一 代数 714
二 三角 720
三 几何 723
四 导数和微分 735
五 不定积分 737
六 定积分 755
七 Г函数(欧勒积分) 757
八 初等函数的幂级数展开式 758
九 重要平面曲线 761